Cours

MATHÉMATIQUES · 1re D

Chapitre : Dérivation · Leçon 1

Nombre dérivé et fonction dérivée

Taux d’accroissement, tangente et dérivées usuelles.

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Cours de Mathématiques : « Nombre dérivé et fonction dérivée », proposé par ndolomathndolomath

Nombre dérivé

💡 Idée principale : Le nombre dérivé

f^{'} (a)

est la limite du taux d’accroissement

\frac{f (a + h) - f (a)}{h}

quand

h

tend vers 0. C’est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse

a

. On calcule les fonctions dérivées avec les formules usuelles et les opérations.

Ce que tu vas apprendre

Calculer un taux d’accroissement et un nombre dérivé.
Déterminer une équation de la tangente en un point ; utiliser l’approximation affine.
Connaître les dérivées usuelles et les règles de calcul (somme, produit, quotient, composée $x \mapsto f (a x + b)$ ).

Pourquoi cette leçon ?

La vitesse affichée par un compteur de moto est une vitesse instantanée : c’est un nombre dérivé. La pente de la tangente mesure aussi la vitesse de variation d’un coût, d’une population, d’une température.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule le coefficient directeur de la droite passant par

A (1; 3)

B (4; 9)

Développe

(a + h)^{2}

(a + h)^{3}

Calcule

lim_{h \to 0} (2 a + h)

Situation problème : La vitesse du mototaxi

Un mototaxi démarre à un carrefour. La distance parcourue (en mètres) après $t$ secondes est $d (t) = t^{2}$ pour $0 \leq t \leq 10$ . Le passager veut savoir à quelle vitesse ils roulent exactement à l’instant $t = 4$ s.
Quelle est cette vitesse instantanée, en m/s puis en km/h ?

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Activité d’apprentissage

On calcule des vitesses moyennes sur des durées de plus en plus courtes.

Calcule la vitesse moyenne entre $t = 4$ et $t = 5$ , puis entre $t = 4$ et $t = 4, 1$ .
Exprime la vitesse moyenne entre $4$ et $4 + h$ en fonction de $h$ .
Vers quel nombre tend-elle quand $h$ tend vers 0 ?
Réponds à la situation problème.

Nombre dérivé et tangente

f

est dérivable en

a

lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

existe et est finie ; cette limite est

f^{'} (a)

. La tangente à

C_{f}

au point d’abscisse

a

a pour équation

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

. Pour

h

proche de 0 :

f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) h

Exemple à traiter : Calcule le nombre dérivé de

f (x) = \frac{1}{x}

en 2 et donne l’équation de la tangente correspondante.

R2 · Dérivées usuelles

(k)^{'} = 0

;

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

;

{(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}

;

(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

sur

] 0; + \infty [

;

(\sin x)^{'} = \cos x

;

(\cos x)^{'} = - \sin x

Exemple à traiter : Dérive

f (x) = 4 x^{3} - 5 x^{2} + 7

g (x) = 3 \sqrt{x} - \frac{2}{x}

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Opérations

(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}

;

(k u)^{'} = k u^{'}

;

(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

;

{(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}

;

{(\frac{1}{v})}^{'} = - \frac{v^{'}}{v^{2}}

;

(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}

;

[f (a x + b)]^{'} = a f^{'} (a x + b)

;

(\sqrt{u})^{'} = \frac{u^{'}}{2 \sqrt{u}}

Exemple à traiter : Dérive

f (x) = (2 x - 1) \sqrt{x}

g (x) = \frac{x^{2} + 1}{x - 3}

h (x) = (3 x + 1)^{4}

k (x) = \sin (2 x - π)

Erreurs fréquentes

⚠ Dérivée d’un quotient

Ce n’est pas

\frac{u^{'}}{v^{'}}

⚠ Dérivabilité

\sqrt{x}

n’est pas dérivable en 0 : la tangente y est verticale.

Exercice d’application

Donne une valeur approchée de $\sqrt{4, 02}$ à l’aide de l’approximation affine.
Détermine les points de la courbe de $f (x) = x^{3} - 3 x$ où la tangente est horizontale.
Réponds à la situation problème.

À retenir

f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

. Tangente :

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

{(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}