Cours

MATHÉMATIQUES · 1re D

Chapitre : Dénombrement · Leçon 2

Les p-listes, p-arrangements et p-combinaisons

Choisir le bon modèle de dénombrement.

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Cours de Mathématiques : « Les p-listes, p-arrangements et p-combinaisons », proposé par ndolomathndolomath

p-listes, arrangements, combinaisons

💡 Idée principale : Selon que l’ordre compte ou non et que les répétitions sont permises ou non, on dénombre des p-listes (

n^{p}

), des arrangements (

A_{n}^{p} = \frac{n!}{(n - p)!}

) ou des combinaisons (

C_{n}^{p} = \frac{n!}{p! (n - p)!}

). Les combinaisons interviennent dans la formule du binôme de Newton.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître et dénombrer les p-listes, arrangements, permutations et combinaisons.
Utiliser les propriétés des $C_{n}^{p}$ et le triangle de Pascal.
Utiliser la formule du binôme de Newton.

Pourquoi cette leçon ?

Tirages de boules, comités, codes, mains de cartes, tirages d’une loterie : chaque situation demande de choisir le bon modèle pour éviter de grosses erreurs de comptage.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

5!

\frac{7!}{4!}

Combien de codes de 3 chiffres (répétitions permises) ?

Développe

(a + b)^{3}

Situation problème : L’urne de la kermesse

À la kermesse du lycée, une urne contient 5 boules rouges, 3 vertes et 2 blanches. On tire 3 boules.
Combien de tirages possibles selon que l’on tire successivement avec remise, successivement sans remise, ou simultanément ? Combien de tirages simultanés contiennent exactement 2 rouges ?

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Activité d’apprentissage

On compare les trois modes de tirage.

Dans chaque mode, l’ordre compte-t-il ? Les répétitions sont-elles possibles ?
Associe à chaque mode le bon modèle et calcule le nombre de tirages.
Pour « exactement 2 rouges » en tirage simultané, combien de choix pour les rouges ? pour l’autre boule ?
Réponds à la situation problème.

Les trois modèles

• p-listes (ordre, répétitions) :

n^{p}

.
• Arrangements (ordre, sans répétition) :

A_{n}^{p} = \frac{n!}{(n - p)!}

; permutations :

n!

.
• Combinaisons (ni ordre ni répétition) :

C_{n}^{p} = \frac{n!}{p! (n - p)!}

Exemple à traiter : Un code de 4 chiffres distincts ; une équipe de 5 parmi 12 ; un tiercé parmi 15 chevaux : quel modèle ?

R2 · Propriétés des combinaisons

C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1

;

C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}

;

C_{n}^{p} = C_{n - 1}^{p - 1} + C_{n - 1}^{p}

(triangle de Pascal) ;

\sum_{p = 0}^{n} C_{n}^{p} = 2^{n}

Exemple à traiter : Démontre

C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}

et construis les lignes 0 à 6 du triangle de Pascal.

Binôme de Newton

(a + b)^{n} = \sum_{p = 0}^{n} C_{n}^{p} a^{n - p} b^{p}

Exemple à traiter : Développe

(x + 2)^{5}

(1 - x)^{4}

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Erreurs fréquentes

⚠ Ordre

Un tirage simultané ne tient pas compte de l’ordre : combinaisons.

⚠ « Au moins »

On utilise souvent le complémentaire.

Exercice d’application

Combien de tirages simultanés de 3 boules contiennent au moins une boule blanche ?
Calcule le coefficient de $x^{3}$ dans $(2 x - 1)^{6}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

n^{p}

(ordre, répétitions),

A_{n}^{p}

(ordre, sans),

C_{n}^{p}

(sans ordre).

(a + b)^{n} = \sum C_{n}^{p} a^{n - p} b^{p}