Cours

MATHÉMATIQUES · 1re D

Chapitre : Barycentres · Leçon 2

Lignes de niveau et arcs capables

Ensembles de points définis par une condition.

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Cours de Mathématiques : « Lignes de niveau et arcs capables », proposé par ndolomathndolomath

Lignes de niveau

💡 Idée principale : Une ligne de niveau d’une fonction

f

du plan est l’ensemble des points

M

tels que

f (M) = k

. Pour

M \mapsto \vec{M A} \cdot \vec{u}

, on obtient une droite ; pour

M \mapsto M A^{2} + M B^{2}

\vec{M A} \cdot \vec{M B}

, un cercle ; pour

M \mapsto \frac{M A}{M B}

, une droite ou un cercle. L’ensemble des points voyant

[A B]

sous un angle donné est formé d’arcs capables.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer les lignes de niveau de $M \mapsto \vec{A M} \cdot \vec{u}$ .
Déterminer les lignes de niveau de $M \mapsto M A^{2} + M B^{2}$ et $M \mapsto \vec{M A} \cdot \vec{M B}$ .
Déterminer les lignes de niveau de $M \mapsto \frac{M A}{M B}$ .
Construire les arcs capables.

Pourquoi cette leçon ?

Où placer un émetteur pour qu’il soit deux fois plus proche d’un village que d’un autre ? D’où voit-on un monument sous un angle donné ? Ces questions demandent de déterminer des ensembles de points.

Prérequis : vérifie tes bases

Énonce le théorème de la médiane.

Simplifie

\vec{M A} \cdot \vec{M B}

avec le milieu

I

[A B]

Énonce le théorème de l’angle inscrit.

Situation problème : L’émetteur

Deux villages $A$ et $B$ sont distants de 6 km. On veut installer un émetteur en un point $M$ tel que $M A = 2 M B$ .
Quel est l’ensemble des emplacements possibles ?

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Activité d’apprentissage

On cherche l’ensemble des points $M$ tels que $\frac{M A}{M B} = 2$ .

Montre que $M A = 2 M B ⟺ M A^{2} - 4 M B^{2} = 0$ .
Écris $(\vec{M A} - 2 \vec{M B}) \cdot (\vec{M A} + 2 \vec{M B}) = 0$ et introduis deux barycentres $G_{1}$ et $G_{2}$ .
Déduis-en la nature de l’ensemble.
Réponds à la situation problème.

Fonctions affines du point

L’ensemble des

M

tels que

\vec{A M} \cdot \vec{u} = k

(

\vec{u} \neq \vec{0}

) est une droite perpendiculaire à

\vec{u}

Exemple à traiter : Détermine l’ensemble des

M

tels que

\vec{A B} \cdot \vec{A M} = 8

avec

A B = 4

R2 · Lignes de niveau circulaires

Avec

I

milieu de

[A B]

M A^{2} + M B^{2} = 2 M I^{2} + \frac{A B^{2}}{2}

\vec{M A} \cdot \vec{M B} = M I^{2} - \frac{A B^{2}}{4}

. Les lignes de niveau sont des cercles de centre

I

, un point ou l’ensemble vide.

Exemple à traiter : Détermine l’ensemble des

M

tels que

M A^{2} + M B^{2} = 50

avec

A B = 6

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Rapport de distances et arcs capables

\frac{M A}{M B} = k

: médiatrice de

[A B]

k = 1

, sinon cercle de diamètre

[G_{1} G_{2}]

, où

G_{1}

G_{2}

sont les barycentres de

(A, 1), (B, k)

(A, 1), (B, - k)

. L’ensemble des

M

tels que

\hat{A M B} = α

est la réunion de deux arcs capables.

Exemple à traiter : Construis l’ensemble des points voyant

[A B]

(5 cm) sous un angle de 60°.

Erreurs fréquentes

⚠ Cas k = 1

Pour MA/MB = 1, on obtient la médiatrice, pas un cercle.

⚠ Ensemble vide

Une ligne de niveau peut être vide si la constante est trop petite.

Exercice d’application

Détermine l’ensemble des $M$ tels que $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = - 5$ avec $A B = 6$ .
Détermine l’ensemble des $M$ tels que $M A^{2} - M B^{2} = 12$ avec $A B = 4$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

\vec{A M} \cdot \vec{u} = k

: droite.

M A^{2} + M B^{2} = k

\vec{M A} \cdot \vec{M B} = k

: cercle de centre

I

\frac{M A}{M B} = k \neq 1

: cercle. Angle constant : arcs capables.