Cours

MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Trigonométrie · Leçon 1

Formules de transformation

Addition, duplication et transformation.

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Cours de Mathématiques : « Formules de transformation », proposé par ndolomathndolomath

Formules trigonométriques

💡 Idée principale : Les formules d’addition

\cos (a + b)

\sin (a + b)

permettent de calculer les lignes trigonométriques de nombreux angles. On en déduit les formules de duplication et de linéarisation, et la transformation de

a \cos x + b \sin x

r \cos (x - φ)

Ce que tu vas apprendre

Connaître et utiliser les formules d’addition.
Utiliser les formules de duplication et de linéarisation.
Transformer $a \cos x + b \sin x$ en $r \cos (x - φ)$ .

Pourquoi cette leçon ?

En physique, deux ondes qui s’ajoutent donnent une onde de même fréquence : c’est la transformation

a \cos x + b \sin x = r \cos (x - φ)

. En géométrie, ces formules donnent des valeurs exactes comme

\cos \frac{π}{12}

Prérequis : vérifie tes bases

Donne

\cos \frac{π}{4}

\sin \frac{π}{6}

\cos \frac{π}{3}

Calcule

\vec{O A} \cdot \vec{O B}

pour

A (\cos a; \sin a)

B (\cos b; \sin b)

Résous

\cos x = \frac{1}{2}

Situation problème : La valeur exacte

Un élève doit donner la valeur exacte de $\cos \frac{π}{12}$ (15°) pour calculer la hauteur d’une rampe. Sa calculatrice donne 0,9659…
Comment obtenir une valeur exacte ?

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Activité d’apprentissage

On utilise deux points $A$ et $B$ du cercle trigonométrique, images de $a$ et $b$ .

Calcule $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ avec les coordonnées.
Calcule-le avec la formule $‖ \vec{O A} ‖ ‖ \vec{O B} ‖ \cos (b - a)$ .
Déduis-en $\cos (a - b)$ , puis $\cos (a + b)$ .
Écris $\frac{π}{12} = \frac{π}{3} - \frac{π}{4}$ et réponds à la situation.

Formules d’addition

\cos (a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b

;

\sin (a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b

;

\tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}

Exemple à traiter : Calcule

\sin \frac{7 π}{12}

\tan \frac{π}{12}

R2 · Duplication et linéarisation

\cos 2 a = \cos^{2} a - \sin^{2} a = 2 \cos^{2} a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} a

;

\sin 2 a = 2 \sin a \cos a

\cos^{2} a = \frac{1 + \cos 2 a}{2}

;

\sin^{2} a = \frac{1 - \cos 2 a}{2}

Exemple à traiter : Calcule

\cos \frac{π}{8}

à l’aide de

\cos \frac{π}{4}

. Linéarise

\sin^{2} x \cos^{2} x

Transformation de a cos x + b sin x

a \cos x + b \sin x = r \cos (x - φ)

avec

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

\cos φ = \frac{a}{r}

\sin φ = \frac{b}{r}

Exemple à traiter : Écris

\cos x + \sqrt{3} \sin x

sous la forme

r \cos (x - φ)

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Erreurs fréquentes

⚠ Signe dans cos(a + b)

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b : le signe est inversé.

⚠ cos 2a

cos 2a n’est pas 2 cos a.

Exercice d’application

Démontre que $\frac{\sin 3 x}{\sin x} - \frac{\cos 3 x}{\cos x} = 2$ .
Calcule $\cos^{4} x - \sin^{4} x$ en fonction de $\cos 2 x$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b

\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b

. Duplication et linéarisation.

a \cos x + b \sin x = r \cos (x - φ)