Cours

MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Transformations affines du plan · Leçon 3

Transformation du plan et étude analytique

Écriture analytique des transformations.

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Cours de Mathématiques : « Transformation du plan et étude analytique », proposé par ndolomathndolomath

Étude analytique

💡 Idée principale : Dans un repère orthonormé, une transformation

M (x; y) \mapsto M^{'} (x^{'}; y^{'})

se traduit par des formules. Les translations, homothéties, rotations et réflexions ont des écritures analytiques caractéristiques, qui permettent de reconnaître une transformation et de calculer ses éléments.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer l’écriture analytique d’une translation, d’une homothétie, d’une rotation, d’une réflexion d’axe donné.
Reconnaître une transformation à partir de son écriture analytique et déterminer ses éléments caractéristiques.
Déterminer les points invariants ; calculer l’image d’une droite ou d’un cercle.

Pourquoi cette leçon ?

Les logiciels de dessin et les jeux vidéo déplacent et font tourner les objets en appliquant des formules aux coordonnées de chaque point : c’est l’étude analytique des transformations.

Prérequis : vérifie tes bases

Rappelle les valeurs de

\cos \frac{π}{2}

\sin \frac{π}{2}

\cos \frac{π}{3}

\sin \frac{π}{3}

Donne les coordonnées de l’image de

M (x; y)

par la symétrie de centre

O

Résous le système

x = 2 x - 3

y = 2 y + 1

Situation problème : Le jeu vidéo

Un programmeur code le déplacement d’un personnage avec les formules $x^{'} = - y + 3$ et $y^{'} = x + 1$ .
Quelle transformation le personnage subit-il ? Existe-t-il un point de l’écran qui ne bouge pas ?

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Activité d’apprentissage

On note $f$ la transformation et $M^{'} = f (M)$ .

Calcule les images de $O (0; 0)$ , $A (1; 0)$ et $B (0; 1)$ .
Cherche les points invariants de $f$ .
Pour $Ω$ invariant, compare $Ω M$ et $Ω M^{'}$ et calcule l’angle $(\vec{Ω M}, \vec{Ω M^{'}})$ .
Réponds à la situation problème.

Translations et homothéties

Translation de vecteur

\vec{u} (a; b)

x^{'} = x + a

y^{'} = y + b

. Homothétie de centre

Ω (x_{0}; y_{0})

et de rapport

k

x^{'} - x_{0} = k (x - x_{0})

y^{'} - y_{0} = k (y - y_{0})

. Une écriture

x^{'} = k x + a

y^{'} = k y + b

avec

k \neq 1

est celle d’une homothétie de rapport

k

Exemple à traiter : Reconnais la transformation

x^{'} = - 2 x + 3

y^{'} = - 2 y + 6

et donne ses éléments.

R2 · Rotations

Rotation de centre

Ω (x_{0}; y_{0})

et d’angle

θ

x^{'} - x_{0} = (x - x_{0}) \cos θ - (y - y_{0}) \sin θ

;

y^{'} - y_{0} = (x - x_{0}) \sin θ + (y - y_{0}) \cos θ

Exemple à traiter : Donne l’écriture analytique de la rotation de centre

A (1; 2)

et d’angle

\frac{π}{2}

Réflexions

Réflexion d’axe

(O x)

x^{'} = x

y^{'} = - y

; d’axe

y = x

x^{'} = y

y^{'} = x

. Pour un axe

(d)

quelconque,

M^{'}

est l’image de

M

si le milieu de

[M M^{'}]

appartient à

(d)

\vec{M M^{'}}

est orthogonal à un vecteur directeur de

(d)

Exemple à traiter : Détermine l’écriture analytique de la réflexion d’axe

(d) : x + y - 2 = 0

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Erreurs fréquentes

⚠ Ordre des formules de rotation

Le signe moins est devant

\sin θ

dans l’expression de

x^{'}

⚠ Points invariants

On résout

x^{'} = x

y^{'} = y

simultanément.

Exercice d’application

Reconnais la transformation $x^{'} = \frac{\sqrt{3}}{2} x - \frac{1}{2} y$ , $y^{'} = \frac{1}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} y$ .
Détermine l’image de la droite $(D) : 2 x - y + 1 = 0$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport 3.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Translation :

x^{'} = x + a

. Homothétie :

x^{'} - x_{0} = k (x - x_{0})

. Rotation :

x^{'} - x_{0} = (x - x_{0}) \cos θ - (y - y_{0}) \sin θ

. Points invariants :

x^{'} = x

y^{'} = y