Cours

MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Transformations affines du plan · Leçon 2

Homothéties et composition avec les rotations, translations et réflexions

Agrandir, réduire et composer avec les isométries.

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Cours de Mathématiques : « Homothéties et composition avec les rotations, translations et réflexions », proposé par ndolomathndolomath

Homothéties

💡 Idée principale : L’homothétie de centre

Ω

et de rapport

k \neq 0

associe à

M

le point

M^{'}

tel que

\vec{Ω M^{'}} = k \vec{Ω M}

. Elle multiplie les distances par

| k |

et les aires par

k^{2}

. Composée avec une homothétie, une translation ou une rotation, elle donne une homothétie, une translation ou une similitude.

Ce que tu vas apprendre

Construire l’image d’une figure par une homothétie ; utiliser $\vec{M^{'} N^{'}} = k \vec{M N}$ .
Connaître l’effet d’une homothétie sur les distances, les aires, les angles et le parallélisme.
Déterminer la composée de deux homothéties, d’une homothétie et d’une translation.
Reconnaître la composée d’une homothétie et d’une rotation de même centre.

Pourquoi cette leçon ?

Un projecteur de cinéma agrandit l’image d’une pellicule ; un photocopieur réduit un plan à l’échelle. Ces transformations sont des homothéties, et leurs enchaînements expliquent les zooms successifs.

Prérequis : vérifie tes bases

Énonce la propriété de Thalès dans un triangle.

Construis

M^{'}

tel que

\vec{O M^{'}} = - 2 \vec{O M}

Par combien est multipliée l’aire d’un carré dont on triple le côté ?

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Situation problème : Les deux photocopies

Un enseignant agrandit une figure au photocopieur avec le rapport $\frac{3}{2}$ , puis il réduit la copie obtenue avec le rapport $\frac{1}{2}$ , les centres d’agrandissement étant différents.
La figure finale est-elle une réduction de la figure initiale ? De quel rapport ? Où se trouve le centre ?

Activité d’apprentissage

On compose les homothéties $h_{1} (Ω_{1}, \frac{3}{2})$ et $h_{2} (Ω_{2}, \frac{1}{2})$ .

Pour deux points $M$ et $N$ d’images finales $M^{″}$ et $N^{″}$ , exprime $\vec{M^{″} N^{″}}$ en fonction de $\vec{M N}$ .
Quelle est la nature de $h_{2} \circ h_{1}$ ? Son rapport ?
Montre que son centre $Ω$ est aligné avec $Ω_{1}$ et $Ω_{2}$ .
Réponds à la situation problème.

Définition et propriétés

h (Ω, k)

\vec{Ω M^{'}} = k \vec{Ω M}

. Pour tous points

M

N

\vec{M^{'} N^{'}} = k \vec{M N}

. Une homothétie conserve l’alignement, le parallélisme, les angles orientés ; elle multiplie les distances par

| k |

et les aires par

k^{2}

. Sa réciproque est

h (Ω, \frac{1}{k})

Exemple à traiter : Deux cercles

C (O, 3)

C^{'} (O^{'}, 1)

sont extérieurs. Détermine les homothéties qui transforment

C

C^{'}

R2 · Composée de deux homothéties

La composée de

h (Ω_{1}, k_{1})

h (Ω_{2}, k_{2})

est une homothétie de rapport

k_{1} k_{2}

k_{1} k_{2} \neq 1

(son centre est sur

(Ω_{1} Ω_{2})

), une translation si

k_{1} k_{2} = 1

. La composée d’une homothétie de rapport

k \neq 1

et d’une translation est une homothétie de rapport

k

Exemple à traiter : Détermine

h (B, 2) \circ h (A, \frac{1}{2})

h (A, 3) \circ t_{\vec{u}}

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Homothétie et rotation de même centre

La composée

r \circ h

de l’homothétie

h (Ω, k)

k > 0

, et de la rotation

r (Ω, θ)

commute (

r \circ h = h \circ r

). Elle multiplie les distances par

k

et conserve les angles orientés : c’est une similitude directe de centre

Ω

, de rapport

k

et d’angle

θ

Exemple à traiter : Construis l’image d’un carré

A B C D

de centre

O

par

r (O, \frac{π}{4}) \circ h (O, \sqrt{2})

Erreurs fréquentes

⚠ Rapport négatif

k < 0

M^{'}

est de l’autre côté du centre.

⚠ Aires

Les aires sont multipliées par

k^{2}

, pas par

k

Exercice d’application

Montre que dans un triangle, le centre de gravité $G$ , l’orthocentre $H$ et le centre du cercle circonscrit $O$ sont alignés (droite d’Euler), à l’aide de l’homothétie $h (G, - \frac{1}{2})$ .
Détermine la nature de $h (A, - 1) \circ h (B, - 1)$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

\vec{Ω M^{'}} = k \vec{Ω M}

\vec{M^{'} N^{'}} = k \vec{M N}

. Composée de deux homothéties : rapport

k_{1} k_{2}

(translation si

k_{1} k_{2} = 1