Cours

MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Transformations affines du plan · Leçon 1

Composée de certaines isométries du plan

Translations, rotations, réflexions et leurs composées.

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Cours de Mathématiques : « Composée de certaines isométries du plan », proposé par ndolomathndolomath

Composée d’isométries

💡 Idée principale : Une isométrie conserve les distances. La composée de deux translations est une translation, celle de deux rotations de même centre est une rotation, celle de deux réflexions d’axes sécants est une rotation et celle de deux réflexions d’axes parallèles une translation. Toute rotation et toute translation se décomposent en deux réflexions.

Ce que tu vas apprendre

Connaître les propriétés des isométries (conservation des distances, des angles, de l’alignement).
Déterminer la composée de deux réflexions (axes parallèles ou sécants).
Décomposer une translation ou une rotation en produit de deux réflexions.
Déterminer la composée de deux rotations, d’une rotation et d’une translation.

Pourquoi cette leçon ?

Les motifs des pagnes et des carreaux répètent une figure par symétries, rotations et glissements. Savoir enchaîner ces transformations permet de prévoir et de construire ces motifs.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis l’image d’un triangle par la réflexion d’axe

(d)

, puis par la rotation de centre

O

et d’angle

90 °

Rappelle la définition d’une translation de vecteur

\vec{u}

Énonce le théorème des angles inscrits.

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Situation problème : Le motif du pagne

Un styliste veut fabriquer un motif : il reproduit une figure $F$ par la symétrie d’axe $(d_{1})$ , puis l’image obtenue par la symétrie d’axe $(d_{2})$ , où $(d_{1})$ et $(d_{2})$ se coupent en $O$ avec un angle de 30°.
Peut-il obtenir directement la figure finale à l’aide d’une seule transformation ? Laquelle ?

Activité d’apprentissage

On compose les réflexions $s_{1}$ d’axe $(d_{1})$ et $s_{2}$ d’axe $(d_{2})$ .

Place un point $M$ , construis $M_{1} = s_{1} (M)$ puis $M^{'} = s_{2} (M_{1})$ .
Compare $O M$ et $O M^{'}$ .
Compare l’angle $(\vec{O M}, \vec{O M^{'}})$ avec l’angle entre $(d_{1})$ et $(d_{2})$ .
Réponds à la situation problème.

Composée de deux réflexions

(d_{1}) ∥ (d_{2})

s_{d_{2}} \circ s_{d_{1}}

est la translation de vecteur

2 \vec{H_{1} H_{2}}

, où

\vec{H_{1} H_{2}}

est orthogonal aux deux axes, de

(d_{1})

vers

(d_{2})

. Si

(d_{1})

(d_{2})

se coupent en

O

avec

(\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) = θ

, c’est la rotation de centre

O

et d’angle

2 θ

Exemple à traiter : Détermine la composée de deux réflexions d’axes perpendiculaires en

O

R2 · Décomposition

Toute translation de vecteur

\vec{u}

est la composée de deux réflexions d’axes orthogonaux à

\vec{u}

, dont l’un peut être choisi. Toute rotation de centre

O

et d’angle

θ

est la composée de deux réflexions d’axes passant par

O

, formant un angle

\frac{θ}{2}

, dont l’un peut être choisi.

Exemple à traiter : Décompose la rotation de centre

A

et d’angle

\frac{π}{3}

en deux réflexions dont l’une a pour axe

(A B)

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Composée de rotations et de translations

La composée de deux rotations d’angles

θ_{1}

θ_{2}

est une rotation d’angle

θ_{1} + θ_{2}

θ_{1} + θ_{2} ≢ 0 [2 π]

, une translation sinon. La composée d’une rotation d’angle

θ \neq 0

et d’une translation est une rotation d’angle

θ

Exemple à traiter :

A B C

est équilatéral direct. Détermine la composée

r_{B} \circ r_{A}

des rotations de centres

A

B

et d’angle

\frac{2 π}{3}

Erreurs fréquentes

⚠ Ordre de composition

s_{2} \circ s_{1}

s_{1} \circ s_{2}

sont des rotations d’angles opposés.

⚠ Angle doublé

L’angle de la rotation est le double de l’angle des axes.

Exercice d’application

Détermine la composée de la translation de vecteur $\vec{u}$ et de la réflexion d’axe $(d)$ lorsque $\vec{u}$ est orthogonal à $(d)$ .
$A B C D$ est un carré de centre $O$ . Détermine $s_{(A C)} \circ s_{(B D)}$ et $s_{(A B)} \circ s_{(C D)}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Deux réflexions : axes parallèles → translation de vecteur

2 \vec{H_{1} H_{2}}

; axes sécants en

O

→ rotation de centre

O

, angle double. Rotations : les angles s’ajoutent.