Cours
MATHÉMATIQUES · 1re C-E
Chapitre : Sphères · Leçon 2

Intersection d’une sphère avec une droite ou un plan

Positions relatives d’une sphère, d’un plan et d’une droite.
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Cours de Mathématiques : « Intersection d’une sphère avec une droite ou un plan », proposé par ndolomathndolomath
Sphère, droite et plan
💡 Idée principale : L’intersection d’une sphère S(Ω,r) et d’un plan (P) dépend de d=d(Ω,P) : vide si d>r, un point si d=r (plan tangent), un cercle de rayon r2−d2 si d<r. L’intersection avec une droite est vide, un point (droite tangente) ou deux points.
Ce que tu vas apprendre
  1. Déterminer la position relative d’une sphère et d’un plan.
  2. Déterminer le centre et le rayon du cercle d’intersection.
  3. Écrire l’équation du plan tangent à une sphère en un point.
  4. Déterminer l’intersection d’une sphère et d’une droite.
Pourquoi cette leçon ?
Quand on coupe une orange avec un couteau, on obtient un disque plus ou moins grand selon l’endroit de la coupe. Ce rayon dépend de la distance entre la coupe et le centre de l’orange.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Calcule la distance de Ω(1;2;3) au plan x+y+z=0.
2
Résous t2−4t+3=0.
3
Écris l’équation de la sphère de centre O et de rayon 5.
Situation problème : La coupe de l’orange

Une orange est modélisée par la sphère de centre Ω(0;0;0) et de rayon 5 cm. Un couteau coupe l’orange suivant le plan (P):z=3, puis un deuxième coup est donné suivant le plan (Q):x+y+z=9.
Quel est le rayon du disque obtenu à la première coupe ? Le deuxième coup touche-t-il l’orange ?

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Activité d’apprentissage

On compare la distance du centre au plan avec le rayon.

  1. Calcule d(Ω,P). Compare avec 5.
  2. En utilisant Pythagore, calcule le rayon du cercle d’intersection de la sphère et de (P).
  3. Calcule d(Ω,Q) et conclus.
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Sphère et plan
Soit d=d(Ω,P) et H le projeté orthogonal de Ω sur (P). Si d>r : intersection vide. Si d=r : le plan est tangent à la sphère en H. Si d<r : l’intersection est le cercle de centre H et de rayon r2−d2.
Exemple à traiter : Étudie l’intersection de la sphère x2+y2+z2−2x−4y−4=0 et du plan 2x+y−2z+5=0.
R2 · Plan tangent
Le plan tangent à la sphère S(Ω,r) en un point A de la sphère est le plan passant par A et de vecteur normal ΩA→.
Exemple à traiter : Écris une équation du plan tangent à la sphère de centre Ω(1;0;−1) passant par A(3;1;1), au point A.
R3
Sphère et droite
On remplace x, y, z par une représentation paramétrique de la droite dans l’équation de la sphère : on obtient une équation du second degré en t. Deux solutions : deux points ; une solution : droite tangente ; aucune : intersection vide.
Exemple à traiter : Détermine l’intersection de la sphère x2+y2+z2=9 et de la droite x=1+t,y=2−t,z=t.
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Erreurs fréquentes
⚠ Rayon du cercle
Le rayon du cercle d’intersection est r2−d2, pas r−d.
⚠ Centre du cercle
Le centre du cercle est le projeté orthogonal de Ω sur le plan, pas Ω.
Exercice d’application
  1. Détermine m pour que le plan x+2y+2z+m=0 soit tangent à la sphère de centre O et de rayon 3.
  2. Détermine le centre et le rayon du cercle d’intersection de la sphère x2+y2+z2=25 et du plan x−y+z=3.
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
d=d(Ω,P) : d>r vide, d=r tangent, d<r cercle de rayon r2−d2. Droite : équation du second degré en t.
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