Cours

MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Sphères · Leçon 1

Équations cartésiennes

Équation cartésienne d’une sphère et reconnaissance.

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Cours de Mathématiques : « Équations cartésiennes », proposé par ndolomathndolomath

Équation d’une sphère

💡 Idée principale : La sphère de centre

Ω (a; b; c)

et de rayon

r

est l’ensemble des points

M

tels que

Ω M = r

. Dans un repère orthonormé, elle a pour équation

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}

. Une équation

x^{2} + y^{2} + z^{2} + α x + β y + γ z + δ = 0

représente une sphère, un point ou l’ensemble vide.

Ce que tu vas apprendre

Écrire une équation cartésienne d’une sphère de centre et rayon donnés.
Écrire l’équation de la sphère de diamètre $[A B]$ .
Reconnaître si une équation est celle d’une sphère et déterminer son centre et son rayon.

Pourquoi cette leçon ?

Un ballon, une boule de pétanque, la surface d’un réservoir sphérique, la zone couverte par un émetteur dans toutes les directions : la sphère est partout, et son équation permet de savoir si un point est dedans ou dehors.

Prérequis : vérifie tes bases

Écris l’équation du cercle de centre

A (1; - 2)

et de rayon 3.

Mets

x^{2} - 4 x

sous forme canonique.

Calcule

Ω M

pour

Ω (1; 0; 2)

M (3; 2; 1)

Situation problème : La portée de l’émetteur

Un émetteur radio placé au sommet d’une tour, au point $Ω (2; - 1; 3)$ (unité : km), émet dans toutes les directions jusqu’à 5 km.
Un village situé en $V (5; 3; 3)$ reçoit-il le signal ? Et un avion situé en $A (4; 2; 8)$ ?

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Activité d’apprentissage

La zone couverte est limitée par la sphère de centre $Ω$ et de rayon 5.

Traduis la condition « $M$ est à 5 km de $Ω$ » par une égalité sur les coordonnées.
Calcule $Ω V$ et $Ω A$ .
Développe l’équation obtenue.
Réponds à la situation problème.

Équation d’une sphère

Dans un repère orthonormé, la sphère

S (Ω, r)

avec

Ω (a; b; c)

a pour équation

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}

Exemple à traiter : Écris une équation de la sphère de centre

Ω (1; - 2; 0)

passant par

A (3; 0; 1)

R2 · Sphère de diamètre [AB]

M

appartient à la sphère de diamètre

[A B]

si et seulement si

\vec{M A} \cdot \vec{M B} = 0

Exemple à traiter : Écris une équation de la sphère de diamètre

[A B]

avec

A (1; 2; - 1)

B (3; 0; 5)

Reconnaître une sphère

On met

x^{2} + y^{2} + z^{2} + α x + β y + γ z + δ = 0

sous la forme

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = k

. Si

k > 0

: sphère de centre

(a; b; c)

et de rayon

\sqrt{k}

; si

k = 0

: un point ; si

k < 0

: ensemble vide.

Exemple à traiter : Détermine la nature des ensembles d’équations

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 6 z + 5 = 0

x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x + 6 = 0

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Erreurs fréquentes

⚠ Signes du centre

Dans

(x + 2)^{2}

, l’abscisse du centre est

- 2

⚠ Rayon

Le second membre est

r^{2}

, pas

r

Exercice d’application

Détermine l’ensemble des points $M$ tels que $M A^{2} + M B^{2} = 20$ avec $A (1; 0; 0)$ et $B (- 1; 0; 0)$ .
Détermine $m$ pour que $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 m x + 4 z + 8 = 0$ soit l’équation d’une sphère.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Sphère

S (Ω, r)

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}

. Diamètre

[A B]

\vec{M A} \cdot \vec{M B} = 0

. Forme canonique pour reconnaître.