Cours

MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Représentation graphique d’une fonction numérique · Leçon 2

Représentation des fonctions rationnelles

Asymptotes, variations et tracé des fonctions rationnelles.

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Cours de Mathématiques : « Représentation des fonctions rationnelles », proposé par ndolomathndolomath

Fonctions rationnelles

💡 Idée principale : Une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes. Son étude ajoute au plan habituel la recherche des asymptotes : verticales aux valeurs interdites, horizontales ou obliques en

\pm \infty

. La position de la courbe par rapport à ses asymptotes guide le tracé.

Ce que tu vas apprendre

Étudier et représenter les fonctions $x \mapsto \frac{a x + b}{c x + d}$ et $x \mapsto \frac{a x^{2} + b x + c}{d x + e}$ .
Déterminer les asymptotes verticales, horizontales et obliques.
Étudier la position relative de la courbe et d’une asymptote.
Déterminer un centre de symétrie.

Pourquoi cette leçon ?

Le coût moyen de production, la concentration d’un médicament dans le sang, l’intensité d’un éclairage en fonction de la distance : ces phénomènes sont modélisés par des fonctions rationnelles qui ont des comportements asymptotiques.

Prérequis : vérifie tes bases

Effectue la division euclidienne de

x^{2} + x + 1

par

x - 1

Calcule

lim_{x \to + \infty} \frac{3 x + 1}{x - 2}

Dérive

\frac{u}{v}

Situation problème : Le stand de beignets

Une vendeuse de beignets a des frais fixes de 2 000 F par jour et chaque beignet lui revient à 25 F. Elle vend $x$ beignets par jour. On s’intéresse au coût par beignet $f (x) = \frac{25 x + 2 000}{x}$ , et à une autre grandeur $g (x) = \frac{x^{2} + 4}{x}$ étudiée en classe.
Quelles droites la courbe de $g$ approche-t-elle ? Où est-elle située par rapport à elles ?

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Activité d’apprentissage

On étudie $g (x) = \frac{x^{2} + 4}{x}$ sur $R^{*}$ .

Écris $g (x)$ sous la forme $a x + b + \frac{c}{x}$ .
Calcule les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition et précise les asymptotes.
Étudie le signe de $g (x) - x$ . Interprète.
Réponds à la situation problème.

Fonctions homographiques

f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}

(

c \neq 0

a d - b c \neq 0

) : asymptote verticale

x = - \frac{d}{c}

, asymptote horizontale

y = \frac{a}{c}

; leur point d’intersection est centre de symétrie ;

f^{'} (x) = \frac{a d - b c}{(c x + d)^{2}}

est de signe constant.

Exemple à traiter : Étudie et représente

f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}

R2 · Asymptote oblique

f (x) = a x + b + ε (x)

avec

lim_{x \to \pm \infty} ε (x) = 0

, la droite

y = a x + b

est asymptote oblique. Le signe de

f (x) - (a x + b)

donne la position de la courbe par rapport à l’asymptote.

Exemple à traiter : Montre que

y = x + 2

est asymptote à la courbe de

f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{x - 1}

et étudie leur position relative.

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Étude complète

Plan : ensemble de définition, limites et asymptotes, dérivée et variations, centre de symétrie éventuel, position par rapport aux asymptotes, tracé (asymptotes d’abord).

Exemple à traiter : Étudie et représente

f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 3}{x - 2}

; montre que le point

Ω (2; 1)

est centre de symétrie.

Erreurs fréquentes

⚠ Oublier une asymptote

Chaque valeur annulant le dénominateur (et pas le numérateur) donne une asymptote verticale.

⚠ Limite à gauche et à droite

On étudie séparément

x \to a^{-}

x \to a^{+}

Exercice d’application

Étudie et représente $f (x) = \frac{- x + 3}{2 x - 4}$ .
Détermine $a$ , $b$ , $c$ tels que $\frac{2 x^{2} - x + 1}{x + 1} = a x + b + \frac{c}{x + 1}$ ; déduis-en une asymptote.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Valeur interdite : asymptote verticale.

f (x) = a x + b + ε (x)

ε \to 0

: asymptote oblique. Signe de

f (x) - (a x + b)

: position.