Cours

MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Représentation graphique d’une fonction numérique · Leçon 1

Représentation des fonctions polynômes

Plan d’étude complet d’une fonction polynôme.

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Cours de Mathématiques : « Représentation des fonctions polynômes », proposé par ndolomathndolomath

Fonctions polynômes

💡 Idée principale : Pour représenter une fonction polynôme, on suit un plan d’étude : ensemble de définition, limites, dérivée et sens de variation, tableau de variation, points particuliers (intersections avec les axes, point d’inflexion, centre de symétrie), tangentes remarquables, puis tracé.

Ce que tu vas apprendre

Suivre un plan d’étude complet d’une fonction polynôme de degré 2, 3 ou 4.
Déterminer un centre ou un axe de symétrie de la courbe.
Tracer la courbe avec ses tangentes remarquables ; résoudre graphiquement des équations.

Pourquoi cette leçon ?

Pour modéliser la trajectoire d’un ballon, l’évolution d’un bénéfice ou la forme d’une rampe, on utilise des fonctions polynômes dont il faut savoir tracer précisément la courbe.

Prérequis : vérifie tes bases

Dérive

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2

Étudie le signe de

3 x^{2} - 6 x

Donne la condition pour que

Ω (a; b)

soit centre de symétrie d’une courbe.

Situation problème : La rampe de skate

Un club de jeunes construit une rampe dont le profil est la courbe de $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ pour $x \in [- 1; 3]$ (unités en mètres).
Quels sont les points les plus haut et le plus bas de la rampe ? Le profil est-il symétrique ? Où la rampe coupe-t-elle le sol (axe des abscisses) ?

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Activité d’apprentissage

On étudie $f$ sur $[- 1; 3]$ .

Calcule $f^{'} (x)$ , étudie son signe et dresse le tableau de variation de $f$ .
Montre que le point $I (1; 0)$ est centre de symétrie de la courbe.
Vérifie que $f (1) = 0$ et factorise $f (x)$ par $(x - 1)$ .
Réponds à la situation problème.

Plan d’étude

1. Ensemble de définition (

R

pour un polynôme) et éventuelles symétries. 2. Limites aux bornes (terme de plus haut degré). 3. Dérivée, signe, tableau de variation. 4. Points remarquables et tangentes. 5. Tableau de valeurs et tracé.

Exemple à traiter : Étudie et représente

f (x) = - x^{2} + 4 x - 3

R2 · Fonctions de degré 3

La courbe d’une fonction polynôme de degré 3 admet un point d’inflexion, qui est son centre de symétrie : c’est le point où

f^{″}

s’annule en changeant de signe. En ce point, la courbe traverse sa tangente.

Exemple à traiter : Étudie et représente

g (x) = x^{3} - 3 x + 1

; précise son centre de symétrie et la tangente en ce point.

Fonctions bicarrées et résolution graphique

Une fonction

x \mapsto a x^{4} + b x^{2} + c

est paire : on l’étudie sur

[0; + \infty [

et on complète par symétrie d’axe

(O y)

. Le nombre de solutions de

f (x) = m

est le nombre de points d’intersection de

C_{f}

avec la droite

y = m

Exemple à traiter : Étudie et représente

h (x) = x^{4} - 2 x^{2}

. Discute graphiquement, suivant

m

, le nombre de solutions de

x^{4} - 2 x^{2} = m

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Erreurs fréquentes

⚠ Limites d’un polynôme

On ne calcule pas

\infty - \infty

: on prend le terme de plus haut degré.

⚠ Tracé

On place d’abord les extremums et les tangentes horizontales avant de tracer.

Exercice d’application

Étudie et représente $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 4$ .
Détermine $a$ , $b$ , $c$ pour que la courbe de $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c$ passe par $A (0; 1)$ et admette au point $B (1; 0)$ une tangente horizontale.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Plan d’étude :

D_{f}

, limites, dérivée et variations, points remarquables, tracé. Degré 3 : centre de symétrie au point d’inflexion. Bicarrée : paire.