Cours

MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Orthogonalité dans l’espace · Leçon 3

Droites et plans orthogonaux

Orthogonalité d’une droite et d’un plan.

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Cours de Mathématiques : « Droites et plans orthogonaux », proposé par ndolomathndolomath

Droite et plan orthogonaux

💡 Idée principale : Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan ; il suffit qu’elle soit orthogonale à deux droites sécantes du plan. On en déduit les notions de vecteur normal, de projeté orthogonal et de plan médiateur.

Ce que tu vas apprendre

Démontrer qu’une droite est orthogonale à un plan.
Utiliser le théorème des deux droites sécantes.
Déterminer un vecteur normal à un plan ; utiliser le plan médiateur d’un segment.
Déterminer le projeté orthogonal d’un point sur un plan.

Pourquoi cette leçon ?

Pour vérifier qu’un poteau est bien vertical, le maçon vérifie qu’il est perpendiculaire à deux directions différentes du sol. Pourquoi deux directions suffisent-elles ?

Prérequis : vérifie tes bases

Dans un cube

A B C D E F G H

, l’arête

[A E]

est-elle orthogonale à

(A B)

? à

(A D)

? à

(B D)

Donne la définition de la médiatrice d’un segment.

Calcule

\vec{u} \cdot \vec{v}

pour

\vec{u} (1; - 1; 2)

\vec{v} (2; 4; 1)

Situation problème : Le poteau électrique

Des techniciens d’ENEO plantent un poteau sur un terrain plat. Pour vérifier qu’il est vertical, l’un d’eux utilise une équerre dans une seule direction au sol ; l’autre vérifie dans deux directions différentes.
Lequel a raison ? Une seule vérification suffit-elle ?

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Activité d’apprentissage

On note $(d)$ la droite du poteau, $(P)$ le plan du sol, et $(Δ_{1})$ , $(Δ_{2})$ deux droites sécantes de $(P)$ .

Si $(d)$ est orthogonale à $(Δ_{1})$ seulement, peut-elle être inclinée ? Donne un exemple dans un cube.
Si $(d)$ est orthogonale à $(Δ_{1})$ et $(Δ_{2})$ , montre à l’aide des vecteurs qu’elle est orthogonale à toute droite de $(P)$ .
Conclus.
Réponds à la situation problème.

Théorème fondamental

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Elle est alors orthogonale à toutes les droites du plan. Un vecteur directeur d’une telle droite est un vecteur normal au plan.

Exemple à traiter : Dans le cube

A B C D E F G H

, montre que

(A E)

est orthogonale au plan

(A B C)

, puis que

(B D)

est orthogonale au plan

(A C E)

R2 · Propriétés

Par un point donné passe un unique plan orthogonal à une droite donnée et une unique droite orthogonale à un plan donné. Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles ; deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles.

Exemple à traiter :

A B C D

est un tétraèdre régulier,

I

milieu de

[A B]

. Montre que

(A B)

est orthogonale au plan

(C D I)

et déduis-en que

(A B) ⊥ (C D)

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Plan médiateur et projeté orthogonal

Le plan médiateur de

[A B]

est le plan passant par le milieu de

[A B]

et orthogonal à

(A B)

: c’est l’ensemble des points équidistants de

A

B

. Le projeté orthogonal de

M

sur

(P)

est le point d’intersection de

(P)

et de la droite orthogonale à

(P)

passant par

M

Exemple à traiter : Dans le cube

A B C D E F G H

, détermine le projeté orthogonal de

G

sur le plan

(A B C)

et montre que

E

C

sont dans le plan médiateur de

[B D]

Erreurs fréquentes

⚠ Une seule droite

Être orthogonale à une seule droite du plan ne suffit pas.

⚠ Droites parallèles

Les deux droites du plan doivent être sécantes, pas parallèles.

Exercice d’application

$S A B C$ est un tétraèdre tel que $(S A)$ est orthogonale à $(A B C)$ et $A B C$ est rectangle en $B$ . Montre que $(B C)$ est orthogonale au plan $(S A B)$ et déduis-en que $S B C$ est rectangle.
Dans le cube $A B C D E F G H$ , montre que $(A G)$ est orthogonale au plan $(B D E)$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Droite ⊥ plan ⇔ ⊥ à deux droites sécantes du plan. Plan médiateur de

[A B]

: points équidistants de

A

B