Cours

MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Géométrie analytique du plan · Leçon 2

Cercles du plan

Équations, tangentes et intersections.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Cercles du plan », proposé par ndolomathndolomath

Cercles

💡 Idée principale : Dans un repère orthonormé, le cercle de centre

Ω (a; b)

et de rayon

r

a pour équation

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

. On étudie la position d’une droite ou d’un autre cercle en comparant des distances, et l’on écrit l’équation d’une tangente grâce au produit scalaire.

Ce que tu vas apprendre

Écrire et reconnaître l’équation d’un cercle.
Étudier la position relative d’une droite et d’un cercle, de deux cercles.
Déterminer l’équation de la tangente en un point d’un cercle.
Déterminer des lieux de points définis par des produits scalaires.

Pourquoi cette leçon ?

La portée d’un émetteur radio, la zone couverte par un arroseur ou une trajectoire circulaire se décrivent par des cercles. Les équations permettent de calculer des intersections et des tangentes avec précision.

Prérequis : vérifie tes bases

Écris

x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y

sous la forme

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} - k

Calcule la distance de

Ω (1; 2)

à la droite

3 x + 4 y - 1 = 0

Développe

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9

Situation problème : Les deux émetteurs

Deux émetteurs radio sont placés en $A (0; 0)$ et $B (8; 0)$ (en km) ; ils portent respectivement à 5 km et à 5 km.
Les zones couvertes se chevauchent-elles ? Quels sont les points à la limite des deux zones ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Cercles du plan », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On considère les cercles $(C_{1})$ de centre $A$ , rayon 5, et $(C_{2})$ de centre $B$ , rayon 5.

Écris les équations des deux cercles.
Compare $A B$ avec la somme et la différence des rayons.
Soustrais les deux équations pour trouver une droite contenant les points communs.
Calcule ces points et réponds à la situation.

Équation

Cercle de centre

Ω (a; b)

, rayon

r

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

. L’ensemble

x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0

est un cercle si

a^{2} + b^{2} - c > 0

, un point si

= 0

, vide si

< 0

Exemple à traiter : Nature de l’ensemble

x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 y + 8 = 0

R2 · Positions relatives

Droite et cercle : comparer

d (Ω, D)

r

. Deux cercles de centres

Ω

Ω^{'}

, rayons

r

r^{'}

: sécants si

| r - r^{'} | < Ω Ω^{'} < r + r^{'}

, tangents si égalité, sinon disjoints.

Exemple à traiter : Étudie la position du cercle

x^{2} + y^{2} = 4

et de la droite

x + y = 3

Tangente et lieux

La tangente en

T

au cercle de centre

Ω

est l’ensemble des

M

tels que

\vec{T M} \cdot \vec{Ω T} = 0

. L’ensemble des

M

tels que

\vec{M A} \cdot \vec{M B} = 0

est le cercle de diamètre

[A B]

Exemple à traiter : Écris l’équation de la tangente au cercle

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25

au point

T (4; 2)

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Cercles du plan », proposé par ndolomathndolomath

Erreurs fréquentes

⚠ Centre mal lu

Le centre de (x + 1)² + (y − 3)² = 4 est (−1 ; 3).

⚠ Rayon

Le second membre est r², pas r.

Exercice d’application

Détermine l’ensemble des points $M$ tels que $M A^{2} + M B^{2} = 50$ avec $A (1; 0)$ , $B (- 1; 0)$ .
Détermine l’équation du cercle passant par $O (0; 0)$ , $A (4; 0)$ et $B (0; 2)$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Cercle :

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

. Positions par comparaison de distances. Tangente en

T

\vec{T M} \cdot \vec{Ω T} = 0