Cours

MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Géométrie analytique du plan · Leçon 1

Droites du plan et distance d’un point à une droite

Vecteur normal, équation et distance.

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Cours de Mathématiques : « Droites du plan et distance d’un point à une droite », proposé par ndolomathndolomath

Droites et distance

💡 Idée principale : Dans un repère orthonormé, la droite d’équation

a x + b y + c = 0

admet

\vec{n} (a; b)

comme vecteur normal. La distance d’un point

M_{0} (x_{0}; y_{0})

à cette droite est

d = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

Ce que tu vas apprendre

Déterminer une équation de droite à l’aide d’un vecteur normal.
Reconnaître des droites parallèles ou perpendiculaires.
Calculer la distance d’un point à une droite.
Déterminer les bissectrices de deux droites sécantes.

Pourquoi cette leçon ?

Pour savoir à quelle distance une maison se trouve d’une route rectiligne, ou placer une borne à égale distance de deux routes, on utilise la distance d’un point à une droite.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

\vec{A B} \cdot \vec{A C}

pour

A (0; 0)

B (2; 1)

C (- 1; 2)

Donne un vecteur directeur de

3 x - y + 2 = 0

Calcule

\sqrt{3^{2} + 4^{2}}

Situation problème : La maison et la route

Sur un plan (unité : 100 m), une route rectiligne a pour équation $3 x + 4 y - 12 = 0$ . Une maison est en $M (5; 6)$ . Le propriétaire veut construire un chemin le plus court possible jusqu’à la route.
Quelle sera la longueur de ce chemin ? En quel point rejoindra-t-il la route ?

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Activité d’apprentissage

On considère la droite $(D) : 3 x + 4 y - 12 = 0$ et $M (5; 6)$ .

Vérifie que $\vec{n} (3; 4)$ est orthogonal à un vecteur directeur de $(D)$ .
Écris une équation de la perpendiculaire à $(D)$ passant par $M$ .
Calcule les coordonnées du point $H$ d’intersection, puis $M H$ .
Compare avec $\frac{| 3 \times 5 + 4 \times 6 - 12 |}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}}$ et réponds à la situation.

Vecteur normal

Dans un repère orthonormé,

\vec{n} (a; b)

non nul est normal à la droite

(D)

s’il est orthogonal à ses vecteurs directeurs. La droite passant par

A

de vecteur normal

\vec{n}

est l’ensemble des

M

tels que

\vec{A M} \cdot \vec{n} = 0

: son équation est

a x + b y + c = 0

Exemple à traiter : Écris une équation de la droite passant par

A (2; - 1)

et de vecteur normal

\vec{n} (1; 3)

R2 · Positions relatives

(D) : a x + b y + c = 0

(D^{'}) : a^{'} x + b^{'} y + c^{'} = 0

sont parallèles si

a b^{'} - a^{'} b = 0

, perpendiculaires si

a a^{'} + b b^{'} = 0

Exemple à traiter : Étudie la position de

2 x - y + 1 = 0

x + 2 y - 3 = 0

Distance d’un point à une droite

d (M_{0}, D) = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

Les bissectrices de deux droites sécantes sont l’ensemble des points équidistants de ces deux droites.

Exemple à traiter : Calcule la distance de

O

à la droite

x - y + 4 = 0

. Détermine les bissectrices des droites

x = 0

3 x - 4 y = 0

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Erreurs fréquentes

⚠ Repère non orthonormé

La formule de la distance suppose un repère orthonormé.

⚠ Valeur absolue oubliée

Une distance est toujours positive.

Exercice d’application

Calcule l’aire du triangle $A B C$ avec $A (1; 1)$ , $B (5; 2)$ , $C (2; 6)$ en utilisant la distance de $C$ à $(A B)$ .
Détermine les droites parallèles à $x + y = 0$ situées à la distance $\sqrt{2}$ de $A (1; 1)$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Vecteur normal

(a; b)

pour

a x + b y + c = 0

. Distance :

\frac{| a x_{0} + b y_{0} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}