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MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Géométrie analytique dans l’espace · Leçon 4

Distance d’un point à une droite ou à un plan

Distance d’un point à un plan, à une droite de l’espace.

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Cours de Mathématiques : « Distance d’un point à une droite ou à un plan », proposé par ndolomathndolomath

Distances

💡 Idée principale : La distance d’un point

M

à un plan

(P)

est la distance

M H

, où

H

est le projeté orthogonal de

M

sur

(P)

. Pour le plan

a x + b y + c z + d = 0

, elle vaut

\frac{| a x_{M} + b y_{M} + c z_{M} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

. La distance à une droite s’obtient avec le projeté orthogonal sur la droite.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer le projeté orthogonal d’un point sur un plan et sur une droite.
Calculer la distance d’un point à un plan avec la formule.
Calculer la distance d’un point à une droite de l’espace.

Pourquoi cette leçon ?

Quelle est la hauteur d’un lampadaire au-dessus d’un toit incliné ? À quelle distance minimale un câble passe-t-il d’un poteau ? Ces problèmes reviennent à calculer des distances d’un point à un plan ou à une droite.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule la distance du point

A (3; 4)

à la droite

3 x + 4 y - 5 = 0

dans le plan.

Donne un vecteur normal au plan

2 x - y + 2 z + 1 = 0

Calcule

\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}

Situation problème : La lampe au-dessus du toit

Le toit plat incliné d’un hangar est modélisé par le plan $(P) : 2 x - y + 2 z - 6 = 0$ (unité : mètre). Une lampe est placée au point $L (4; 1; 5)$ .
À quelle distance du toit se trouve la lampe ? En quel point du toit la perpendiculaire issue de la lampe arrive-t-elle ?

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Activité d’apprentissage

On cherche le projeté orthogonal $H$ de $L$ sur $(P)$ .

Écris une représentation paramétrique de la droite passant par $L$ et orthogonale à $(P)$ .
Détermine son intersection $H$ avec $(P)$ .
Calcule $L H$ et compare avec $\frac{| 2 x_{L} - y_{L} + 2 z_{L} - 6 |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}}$ .
Réponds à la situation problème.

Distance d’un point à un plan

d (M, P) = M H

, où

H

est le projeté orthogonal de

M

sur

(P)

: c’est la plus petite distance de

M

à un point de

(P)

. Pour

(P) : a x + b y + c z + d = 0

d (M, P) = \frac{| a x_{M} + b y_{M} + c z_{M} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

Exemple à traiter : Calcule la distance de

A (1; - 2; 3)

au plan

x + 2 y - 2 z + 4 = 0

R2 · Projeté sur une droite

Le projeté orthogonal

H

M

sur la droite

(D)

passant par

A

et dirigée par

\vec{u}

est le point de

(D)

tel que

\vec{M H} \cdot \vec{u} = 0

. On écrit

H

avec le paramètre

t

et on résout cette équation.

Exemple à traiter : Détermine le projeté orthogonal de

M (1; 2; 3)

sur la droite

x = t, y = 1 + t, z = 2 t

Distance d’un point à une droite

d (M, D) = M H

, où

H

est le projeté orthogonal de

M

sur

(D)

. On peut aussi utiliser le plan passant par

M

et orthogonal à

(D)

, dont l’intersection avec

(D)

est

H

Exemple à traiter : Calcule la distance du point

M

de R2 à la droite.

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Erreurs fréquentes

⚠ Valeur absolue

La distance est positive : on garde la valeur absolue du numérateur.

⚠ Formule du plan

La formule du plan ne s’applique pas directement à une droite de l’espace.

Exercice d’application

Détermine l’ensemble des points équidistants des plans $x + y + z = 1$ et $x + y + z = 5$ .
Écris une équation de la sphère de centre $Ω (1; 1; 1)$ tangente au plan $2 x + y - 2 z + 6 = 0$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

d (M, P) = \frac{| a x_{M} + b y_{M} + c z_{M} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

. Distance à une droite :

M H

avec

\vec{M H} \cdot \vec{u} = 0