Cours

MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Géométrie analytique dans l’espace · Leçon 3

Positions relatives de deux droites, de deux plans, d’une droite et d’un plan

Intersections dans l’espace par le calcul.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Positions relatives de deux droites, de deux plans, d’une droite et d’un plan », proposé par ndolomathndolomath

Positions relatives

💡 Idée principale : Dans l’espace, deux droites peuvent être sécantes, parallèles ou non coplanaires ; deux plans sont parallèles ou sécants suivant une droite ; une droite est parallèle à un plan ou le coupe en un point. On détermine ces positions et les intersections en résolvant des systèmes.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer la position relative de deux droites données par des représentations paramétriques.
Déterminer la position relative de deux plans et leur intersection.
Déterminer la position relative d’une droite et d’un plan et leur intersection.

Pourquoi cette leçon ?

Deux câbles électriques tendus se croisent-ils ? Une tige traverse-t-elle une plaque, et en quel point ? Ces questions d’ingénierie se ramènent à des intersections de droites et de plans.

Prérequis : vérifie tes bases

Résous le système

1 + t = 3 - s

2 t = 4 - 2 s

Quand deux vecteurs

\vec{u} (a; b; c)

\vec{v} (a^{'}; b^{'}; c^{'})

sont-ils colinéaires ?

Le point

A (1; 2; 3)

appartient-il au plan

x + y - z = 0

Situation problème : Les deux câbles

Dans un atelier, deux câbles tendus sont modélisés par les droites $(D_{1}) : x = 1 + t, y = 2 t, z = 3 - t$ et $(D_{2}) : x = 2 + s, y = 1 - s, z = 2 s$ .
Les câbles se touchent-ils ? Sont-ils parallèles ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Positions relatives de deux droites, de deux plans, d’une droite et d’un plan », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On compare les vecteurs directeurs puis on cherche un éventuel point commun.

Donne un vecteur directeur de chaque droite. Sont-ils colinéaires ?
Écris le système traduisant l’existence d’un point commun.
Résous-le et conclus.
Réponds à la situation problème.

Deux droites

Si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, les droites sont parallèles (strictement ou confondues). Sinon, on résout le système : une solution ⇒ sécantes ; aucune ⇒ non coplanaires.

Exemple à traiter : Étudie la position relative de

(D) : x = t, y = 1 + t, z = 2 - t

(D^{'}) : x = 1 - 2 s, y = 2 - 2 s, z = 1 + 2 s

R2 · Deux plans

(P) : a x + b y + c z + d = 0

(P^{'}) : a^{'} x + b^{'} y + c^{'} z + d^{'} = 0

sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires ; sinon ils sont sécants suivant une droite dont on obtient une représentation paramétrique en résolvant le système.

Exemple à traiter : Étudie la position relative des plans

x - y + 2 z = 1

2 x - 2 y + 4 z = 5

, puis de

x + y = 1

y + z = 2

Droite et plan

Une droite de vecteur directeur

\vec{u}

est parallèle au plan de vecteur normal

\vec{n}

si et seulement si

\vec{u} \cdot \vec{n} = 0

; sinon elle le coupe en un point, obtenu en remplaçant

x

y

z

par la représentation paramétrique dans l’équation du plan.

Exemple à traiter : Détermine l’intersection de la droite

x = 1 + 2 t, y = - t, z = 3 + t

et du plan

x + y + z = 2

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Positions relatives de deux droites, de deux plans, d’une droite et d’un plan », proposé par ndolomathndolomath

Erreurs fréquentes

⚠ Non coplanaires

Deux droites non parallèles ne sont pas forcément sécantes dans l’espace.

⚠ Même paramètre

On utilise deux paramètres différents pour deux droites.

Exercice d’application

Détermine $m$ pour que la droite $x = 1 + m t, y = 2 + t, z = - t$ soit parallèle au plan $2 x - y + z = 3$ .
Étudie la position relative de $(A B)$ et du plan $(P) : x + 2 y - z = 4$ avec $A (1; 1; 1)$ et $B (3; 2; 0)$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Deux droites : directeurs colinéaires ⇒ parallèles ; sinon système : sécantes ou non coplanaires. Droite // plan ⇔

\vec{u} \cdot \vec{n} = 0