Cours

MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Géométrie analytique dans l’espace · Leçon 2

Représentations paramétriques et cartésiennes des droites et des plans

Équations de droites et de plans de l’espace.

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Cours de Mathématiques : « Représentations paramétriques et cartésiennes des droites et des plans », proposé par ndolomathndolomath

Droites et plans : équations

💡 Idée principale : Une droite de l’espace passant par

A

et dirigée par

\vec{u}

se décrit par une représentation paramétrique. Un plan se décrit par une représentation paramétrique (point et deux vecteurs directeurs) ou par une équation cartésienne

a x + b y + c z + d = 0

, où

\vec{n} (a; b; c)

est un vecteur normal.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer une représentation paramétrique d’une droite.
Déterminer une représentation paramétrique et une équation cartésienne d’un plan.
Passer d’une représentation à l’autre.
Utiliser un vecteur normal pour écrire l’équation d’un plan.

Pourquoi cette leçon ?

Pour programmer la trajectoire rectiligne d’un drone ou décrire le toit plat d’un bâtiment, il faut des équations de droites et de plans de l’espace.

Prérequis : vérifie tes bases

Écris une équation de la droite du plan passant par

A (1; 2)

et dirigée par

\vec{u} (3; - 1)

Calcule

\vec{u} \cdot \vec{v}

pour

\vec{u} (1; 2; - 1)

\vec{v} (3; 0; 3)

Résous le système

x = 1 + 2 t

3 = 5 - t

Situation problème : La trajectoire du drone

Un drone part du point $A (2; 1; 0)$ et se déplace en ligne droite ; chaque seconde, il avance du vecteur $\vec{u} (1; 2; 3)$ . Un ballon est immobile au point $B (5; 7; 9)$ .
Le drone va-t-il percuter le ballon ? Si oui, au bout de combien de secondes ?

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Activité d’apprentissage

On note $M (x; y; z)$ la position du drone après $t$ secondes.

Exprime $\vec{A M}$ en fonction de $t$ et $\vec{u}$ .
Déduis-en $x$ , $y$ , $z$ en fonction de $t$ .
Cherche s’il existe $t$ tel que $M = B$ .
Réponds à la situation problème.

Représentation paramétrique d’une droite

La droite passant par

A (x_{A}; y_{A}; z_{A})

et de vecteur directeur

\vec{u} (a; b; c)

x = x_{A} + a t

y = y_{A} + b t

z = z_{A} + c t

t \in R

Exemple à traiter : Donne une représentation paramétrique de la droite

(A B)

avec

A (1; 0; - 2)

B (3; 1; 1)

. Le point

C (5; 2; 4)

appartient-il à

(A B)

R2 · Représentation paramétrique d’un plan

Le plan passant par

A

et de vecteurs directeurs non colinéaires

\vec{u}

\vec{v}

\vec{A M} = t \vec{u} + s \vec{v}

, soit

x = x_{A} + a t + a^{'} s

, etc.,

(t, s) \in R^{2}

Exemple à traiter : Donne une représentation paramétrique du plan

(A B C)

avec

A (1; 0; 0)

B (0; 2; 0)

C (0; 0; 3)

Équation cartésienne d’un plan

Le plan passant par

A

et de vecteur normal

\vec{n} (a; b; c)

a une équation de la forme

a x + b y + c z + d = 0

(

M \in P ⟺ \vec{A M} \cdot \vec{n} = 0

). Réciproquement,

a x + b y + c z + d = 0

avec

(a, b, c) \neq (0, 0, 0)

est l’équation d’un plan de vecteur normal

\vec{n} (a; b; c)

Exemple à traiter : Détermine une équation cartésienne du plan passant par

A (2; - 1; 3)

et de vecteur normal

\vec{n} (1; 3; - 2)

, puis du plan

(A B C)

de R2.

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Erreurs fréquentes

⚠ Paramètres

Pour un plan, il faut deux paramètres différents

t

s

⚠ Vecteur normal

Les coefficients de

x

y

z

donnent un vecteur normal, pas un vecteur directeur.

Exercice d’application

Détermine une représentation paramétrique de la droite d’intersection des plans $x + y - z = 1$ et $2 x - y + z = 2$ .
Écris une équation cartésienne du plan médiateur de $[A B]$ avec $A (1; 2; 3)$ et $B (3; 0; 1)$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Droite :

\vec{A M} = t \vec{u}

. Plan :

\vec{A M} = t \vec{u} + s \vec{v}

a x + b y + c z + d = 0

\vec{n} (a; b; c)

normal.