Cours

MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Géométrie analytique dans l’espace · Leçon 1

Repères de l’espace

Coordonnées, vecteurs, produit scalaire dans l’espace.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Repères de l’espace », proposé par ndolomathndolomath

Repères de l’espace

💡 Idée principale : Un repère de l’espace est formé d’un point

O

et de trois vecteurs non coplanaires

(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})

. Tout point

M

a alors des coordonnées uniques

(x; y; z)

telles que

\vec{O M} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}

. Dans un repère orthonormé, on calcule distances et produits scalaires.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une base et un repère de l’espace.
Calculer les coordonnées d’un vecteur, d’un milieu, d’un barycentre.
Reconnaître des vecteurs colinéaires, des vecteurs coplanaires.
Calculer un produit scalaire, une norme et une distance dans un repère orthonormé.

Pourquoi cette leçon ?

Pour repérer un avion dans le ciel, une pièce dans une machine ou un point dans une salle, deux nombres ne suffisent pas : il faut une troisième coordonnée, l’altitude.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule les coordonnées du milieu de

[A B]

avec

A (1; 3)

B (5; - 1)

Calcule

A B

pour

A (1; 2)

B (4; 6)

Rappelle la condition de colinéarité de deux vecteurs du plan.

Situation problème : Le drone de surveillance

Un drone décolle d’un point $O$ d’un terrain. On repère sa position par sa distance vers l’est, vers le nord et son altitude (en mètres). À un instant il est en $A (30; 40; 20)$ , puis en $B (60; 0; 30)$ .
Quelle distance a-t-il parcourue en ligne droite ? Est-il plus loin ou plus près de $O$ ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Repères de l’espace », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On travaille dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ .

Calcule les coordonnées de $\vec{A B}$ .
En utilisant Pythagore deux fois, exprime $O A$ en fonction des coordonnées de $A$ .
Calcule $O A$ , $O B$ et $A B$ .
Réponds à la situation problème.

Bases et coordonnées

Trois vecteurs non coplanaires forment une base. Si

A (x_{A}; y_{A}; z_{A})

B (x_{B}; y_{B}; z_{B})

\vec{A B} (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})

, milieu

I (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})

Exemple à traiter : Calcule les coordonnées du centre de gravité du triangle

A (1; 0; 2)

B (3; - 1; 1)

C (- 1; 4; 0)

R2 · Colinéarité et coplanarité

\vec{u}

\vec{v}

sont colinéaires s’il existe

k

tel que

\vec{v} = k \vec{u}

\vec{u}

\vec{v}

\vec{w}

sont coplanaires s’il existe

a

b

tels que

\vec{w} = a \vec{u} + b \vec{v}

(

\vec{u}

\vec{v}

non colinéaires), ou si leur déterminant est nul.

Exemple à traiter : Les points

A (1; 2; 3)

B (2; 4; 5)

C (4; 8; 9)

sont-ils alignés ? Les vecteurs

(1; 0; 1)

(0; 1; 1)

(2; 3; 5)

sont-ils coplanaires ?

Repère orthonormé

Dans un repère orthonormé :

\vec{u} \cdot \vec{v} = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

;

‖ \vec{u} ‖ = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

;

A B = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}}

Exemple à traiter : Montre que le triangle

A (1; 1; 0)

B (2; 3; 1)

C (0; 2; 3)

est rectangle en

A

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Repères de l’espace », proposé par ndolomathndolomath

Erreurs fréquentes

⚠ Coplanarité

Deux vecteurs non colinéaires ne suffisent pas à engendrer l’espace.

⚠ Repère non orthonormé

Les formules de distance ne s’appliquent que dans un repère orthonormé.

Exercice d’application

Détermine $m$ pour que $\vec{u} (m; 2; - 1)$ et $\vec{v} (4; m; - 2)$ soient colinéaires.
Calcule l’angle $\hat{B A C}$ pour $A (0; 0; 0)$ , $B (1; 1; 0)$ , $C (1; 0; 1)$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

\vec{A B} (x_{B} - x_{A}; \dots)

. Repère orthonormé :

\vec{u} \cdot \vec{v} = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}

A B = \sqrt{Δ x^{2} + Δ y^{2} + Δ z^{2}}