Cours

MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Espaces vectoriels sur IR et applications linéaires · Leçon 3

Matrices et applications linéaires

Matrice d’une application linéaire et calcul matriciel.

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Cours de Mathématiques : « Matrices et applications linéaires », proposé par ndolomathndolomath

Matrices

💡 Idée principale : Dans des bases fixées, une application linéaire est entièrement décrite par une matrice : ses colonnes sont les coordonnées des images des vecteurs de la base. Les opérations sur les applications linéaires (somme, composition) correspondent aux opérations sur les matrices (somme, produit).

Ce que tu vas apprendre

Écrire la matrice d’une application linéaire dans des bases données.
Calculer l’image d’un vecteur à l’aide de la matrice.
Effectuer la somme, le produit par un réel et le produit de deux matrices.
Calculer le déterminant d’une matrice carrée d’ordre 2 ou 3 et l’inverse d’une matrice d’ordre 2.

Pourquoi cette leçon ?

Les tableaux de prix, de quantités ou de distances sont des matrices. Le calcul matriciel permet de traiter en une seule opération des transformations de figures ou des calculs de coûts.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

f (1; 0)

f (0; 1)

pour

f (x; y) = (2 x - y; x + 3 y)

Calcule

2 \times 5 - 3 \times (- 1)

Rappelle ce qu’est la composée

g \circ f

Situation problème : Les ventes de la boutique

Une boutique vend des cahiers et des stylos dans deux succursales. Le tableau des quantités vendues en un jour est : succursale 1 : 20 cahiers, 35 stylos ; succursale 2 : 15 cahiers, 40 stylos. Un cahier coûte 400 F et un stylo 150 F, avec un bénéfice de 100 F par cahier et 50 F par stylo.
Comment calculer en une seule opération la recette et le bénéfice de chaque succursale ?

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Activité d’apprentissage

On range les données dans des tableaux de nombres.

Écris la matrice $Q$ des quantités (2 lignes, 2 colonnes) et la matrice $P$ des prix et bénéfices.
Calcule la recette de la succursale 1. Quelle ligne et quelle colonne as-tu utilisées ?
Effectue le produit $Q P$ .
Réponds à la situation problème.

Matrice d’une application linéaire

Soit

f : E \to F

linéaire,

B = (\vec{e_{1}}, \dots, \vec{e_{n}})

base de

E

B^{'}

base de

F

. La matrice de

f

a pour

j

-ième colonne les coordonnées de

f (\vec{e_{j}})

dans

B^{'}

. Si

X

est la colonne des coordonnées de

\vec{u}

, celle de

f (\vec{u})

est

Y = A X

Exemple à traiter : Écris la matrice dans la base canonique de

f (x; y; z) = (x + 2 y - z; 3 x + z)

et calcule

f (1; - 1; 2)

avec cette matrice.

R2 · Opérations sur les matrices

On additionne terme à terme deux matrices de même format. Le produit

A B

(nombre de colonnes de

A

= nombre de lignes de

B

) a pour coefficient

c_{i j} = \sum_{k} a_{i k} b_{k j}

. La matrice de

g \circ f

est le produit (matrice de

g

) × (matrice de

f

). En général

A B \neq B A

Exemple à traiter : Calcule

A B

B A

pour

A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 0 \end{matrix})

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Déterminant et inverse

det (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = a d - b c

. La matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul, et alors

A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix})

. Un endomorphisme est bijectif si et seulement si le déterminant de sa matrice est non nul.

Exemple à traiter : Montre que

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{matrix})

est inversible et calcule

A^{- 1}

. Utilise-la pour résoudre

2 x + y = 4

5 x + 3 y = 7

Erreurs fréquentes

⚠ Produit terme à terme

Le produit matriciel n’est pas le produit des coefficients de même place.

⚠ Ordre des facteurs

A B

B A

sont en général différents.

Exercice d’application

Calcule le déterminant de $(\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ - 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix})$ .
Détermine la matrice de la rotation vectorielle d’angle $\frac{π}{2}$ et calcule son carré. Interprète.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Colonnes de la matrice = images des vecteurs de base.

Y = A X

. Composée ↔ produit de matrices.

det \neq 0

⇔ inversible.