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MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Espaces vectoriels sur IR et applications linéaires · Leçon 2

Applications linéaires

Linéarité, noyau, image, isomorphismes.

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Cours de Mathématiques : « Applications linéaires », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : Une application

f

d’un espace vectoriel

E

vers

F

est linéaire si

f (\vec{u} + α \vec{v}) = f (\vec{u}) + α f (\vec{v})

. Son noyau

\ker f

et son image

Im f

sont des sous-espaces vectoriels ;

f

est injective si et seulement si

\ker f = {\vec{0}}

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une application linéaire.
Déterminer le noyau et l’image d’une application linéaire, et une base de chacun.
Caractériser une application linéaire injective, surjective, bijective (isomorphisme).
Connaître les endomorphismes usuels : homothéties vectorielles, projections, symétries.

Pourquoi cette leçon ?

Convertir des prix d’une monnaie à une autre, calculer les besoins en matières premières d’une production, transformer une figure : ces opérations respectent les sommes et les multiplications par un réel. Ce sont des applications linéaires.

Prérequis : vérifie tes bases

Vérifie que

f (x) = 3 x

vérifie

f (a + b) = f (a) + f (b)

. Et

g (x) = 3 x + 1

Résous le système

x + 2 y = 0

2 x + 4 y = 0

Rappelle la définition d’un sous-espace vectoriel.

Situation problème : Le calcul des matières premières

Une coopérative fabrique $x$ sacs d’engrais A et $y$ sacs d’engrais B. Il faut $x + 2 y$ kg d’azote et $2 x + 4 y$ kg de phosphate.
Le gérant affirme qu’il existe des productions différentes demandant exactement les mêmes quantités. Le besoin $(5; 8)$ en (azote ; phosphate) est-il réalisable ?

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Activité d’apprentissage

On considère $f : R^{2} \to R^{2}$ , $f (x; y) = (x + 2 y; 2 x + 4 y)$ .

Montre que $f$ est linéaire.
Détermine les couples $(x; y)$ tels que $f (x; y) = (0; 0)$ .
Montre que tout vecteur image $(a; b)$ vérifie $b = 2 a$ .
Réponds à la situation problème.

Définition

f : E \to F

est linéaire si pour tous

\vec{u}, \vec{v} \in E

α \in R

f (\vec{u} + \vec{v}) = f (\vec{u}) + f (\vec{v})

f (α \vec{u}) = α f (\vec{u})

. Alors

f (\vec{0}) = \vec{0}

. Une application linéaire de

E

dans

E

est un endomorphisme.

Exemple à traiter : Les applications

f (x; y) = (2 x - y; x + 3 y)

g (x; y) = (x^{2}; y)

sont-elles linéaires ?

R2 · Noyau et image

\ker f = {\vec{u} \in E ∣ f (\vec{u}) = \vec{0}}

Im f = {f (\vec{u}) ∣ \vec{u} \in E}

sont des sous-espaces vectoriels. Si

E

est de dimension finie :

\dim \ker f + \dim Im f = \dim E

Exemple à traiter : Détermine le noyau et l’image de

f (x; y; z) = (x + y; y - z)

; donne une base de chacun.

Injectivité et isomorphismes

f

linéaire est injective si et seulement si

\ker f = {\vec{0}}

; surjective si et seulement si

Im f = F

. Un isomorphisme est une application linéaire bijective. Si

\dim E = \dim F

f

est bijective si et seulement si elle est injective.

Exemple à traiter : Montre que

f (x; y) = (x + y; x - y)

est un automorphisme de

R^{2}

et détermine sa réciproque.

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Erreurs fréquentes

⚠ Terme constant

Une application avec un terme constant (

x + 1

) n’est pas linéaire.

⚠ Noyau et injectivité

On résout

f (\vec{u}) = \vec{0}

, pas

f (\vec{u}) = \vec{u}

Exercice d’application

Soit $p (x; y) = (x; 0)$ . Montre que $p$ est linéaire, que $p \circ p = p$ , et détermine son noyau et son image.
Détermine $a$ pour que $f (x; y) = (x + a y; 2 x + 6 y)$ ne soit pas injective.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Linéaire :

f (\vec{u} + α \vec{v}) = f (\vec{u}) + α f (\vec{v})

\ker f = {\vec{0}}

⇔ injective.

\dim \ker f + \dim Im f = \dim E