Cours

MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Espaces vectoriels sur IR et applications linéaires · Leçon 1

Espaces et sous-espaces vectoriels

Structure d’espace vectoriel, sous-espaces, bases et dimension.

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Cours de Mathématiques : « Espaces et sous-espaces vectoriels », proposé par ndolomathndolomath

Espaces vectoriels

💡 Idée principale : Un espace vectoriel sur

R

est un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication par un réel vérifiant certaines règles. Un sous-espace vectoriel est une partie stable par combinaisons linéaires. Une base est une famille libre et génératrice ; le nombre de ses vecteurs est la dimension.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître un espace vectoriel et un sous-espace vectoriel.
Reconnaître une combinaison linéaire, une famille libre, une famille génératrice.
Déterminer une base et la dimension d’un espace vectoriel ; calculer les coordonnées d’un vecteur dans une base.

Pourquoi cette leçon ?

Les vecteurs du plan, les polynômes de degré au plus 2, les couples de réels se manipulent tous de la même façon : on les additionne et on les multiplie par des réels. La notion d’espace vectoriel unifie ces calculs.

Prérequis : vérifie tes bases

Les vecteurs

\vec{u} (2; 3)

\vec{v} (4; 6)

sont-ils colinéaires ?

Résous le système

2 a + b = 0

a - b = 3

Écris

\vec{w} (5; 1)

comme combinaison de

\vec{i}

\vec{j}

Situation problème : Les recettes de la pâtisserie

Une pâtisserie fabrique deux produits : le gâteau $G$ utilise 2 kg de farine et 1 kg de sucre, la tarte $T$ 1 kg de farine et 1 kg de sucre. On représente chaque besoin par un couple (farine ; sucre).
Peut-on, avec des gâteaux et des tartes, utiliser exactement 7 kg de farine et 4 kg de sucre ? Tout couple (farine ; sucre) peut-il s’obtenir de cette façon ?

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Activité d’apprentissage

On considère dans $R^{2}$ les vecteurs $\vec{g} = (2; 1)$ et $\vec{t} = (1; 1)$ .

Cherche $a$ et $b$ tels que $a \vec{g} + b \vec{t} = (7; 4)$ .
Montre que pour tout $(x; y)$ , il existe un unique couple $(a; b)$ tel que $a \vec{g} + b \vec{t} = (x; y)$ .
Que peut-on dire de la famille $(\vec{g}, \vec{t})$ ?
Réponds à la situation problème.

Espace vectoriel et sous-espace

(E, +, \cdot)

est un espace vectoriel sur

R

(E, +)

est un groupe commutatif et si, pour tous

α, β \in R

\vec{u}, \vec{v} \in E

α (\vec{u} + \vec{v}) = α \vec{u} + α \vec{v}

(α + β) \vec{u} = α \vec{u} + β \vec{u}

α (β \vec{u}) = (α β) \vec{u}

1 \vec{u} = \vec{u}

. Une partie

F

non vide de

E

est un sous-espace vectoriel si pour tous

\vec{u}, \vec{v} \in F

α \in R

\vec{u} + α \vec{v} \in F

Exemple à traiter :

F = {(x; y; z) \in R^{3} ∣ x - 2 y + z = 0}

est-il un sous-espace vectoriel de

R^{3}

? Et

G = {(x; y) ∣ x + y = 1}

dans

R^{2}

R2 · Familles libres et génératrices

(\vec{u_{1}}, \dots, \vec{u_{n}})

est libre si

α_{1} \vec{u_{1}} + \dots + α_{n} \vec{u_{n}} = \vec{0} \Rightarrow α_{1} = \dots = α_{n} = 0

; génératrice de

E

si tout vecteur de

E

est combinaison linéaire des

\vec{u_{i}}

Exemple à traiter : La famille

((1; 2; 0), (0; 1; 1), (1; 3; 1))

est-elle libre ?

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Base et dimension

Une base de

E

est une famille libre et génératrice : tout vecteur s’écrit de manière unique comme combinaison des vecteurs de la base (ses coordonnées). Toutes les bases ont le même nombre de vecteurs, la dimension de

E

. Dans un espace de dimension

n

, une famille libre de

n

vecteurs est une base.

Exemple à traiter : Montre que

((1; 1), (1; - 1))

est une base de

R^{2}

et donne les coordonnées de

(5; 3)

dans cette base. Détermine une base et la dimension de

F

(R1).

Erreurs fréquentes

⚠ Le vecteur nul

Un sous-espace vectoriel contient toujours

\vec{0}

: c’est le premier test.

⚠ Libre et génératrice

Une famille libre n’est pas forcément génératrice.

Exercice d’application

Montre que l’ensemble des polynômes de degré au plus 2 est un espace vectoriel et donne-en une base.
Détermine une base de $H = {(x; y; z) ∣ x + y = 0 et z = 2 x}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Sous-espace : contient

\vec{0}

, stable par

\vec{u} + α \vec{v}

. Base = libre + génératrice ; dimension = nombre de vecteurs d’une base.