Cours

MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Équations, inéquations Systèmes · Leçon 3

Systèmes linéaires dans ℝ² et dans ℝ³

Deux ou trois inconnues, la méthode de Gauss.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Systèmes linéaires dans ℝ² et dans ℝ³ », proposé par ndolomathndolomath

Systèmes linéaires

💡 Idée principale : Un système linéaire de deux équations à deux inconnues se résout par les déterminants (Cramer). Un système de trois équations à trois inconnues se résout par la méthode du pivot de Gauss : on élimine une inconnue après l’autre pour obtenir un système triangulaire.

Ce que tu vas apprendre

Résoudre un système 2×2 par la méthode de Cramer et le discuter.
Résoudre un système 3×3 par la méthode de Gauss.
Mettre un problème en système.

Pourquoi cette leçon ?

Retrouver les prix de trois produits à partir de trois factures, ou les coefficients d’une parabole passant par trois points : ces problèmes mènent à des systèmes 3×3.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

2 \times 5 - 3 \times (- 1)

Résous

{\begin{cases} x + y = 5 \\ 2 x - y = 1 \end{cases}

Résous le système triangulaire

{\begin{cases} x + y + z = 6 \\ y + z = 5 \\ z = 3 \end{cases}

Situation problème : Les trois produits

Au marché, Ange achète 1 kg de riz, 2 L d’huile et 1 kg de sucre pour 3 600 F ; Bella 2 kg de riz, 1 L d’huile et 3 kg de sucre pour 4 300 F ; Carole 3 kg de riz, 1 L d’huile et 1 kg de sucre pour 3 700 F.
Quel est le prix de chaque produit ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Systèmes linéaires dans ℝ² et dans ℝ³ », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On note $x$ , $y$ , $z$ les prix du kg de riz, du litre d’huile et du kg de sucre.

Écris le système de trois équations.
Élimine x des deux dernières équations à l’aide de la première.
Élimine y de la dernière équation.
Résous le système triangulaire et réponds à la situation.

Système 2×2

{\begin{cases} a x + b y = c \\ a^{'} x + b^{'} y = c^{'} \end{cases}

D = a b^{'} - a^{'} b

. Si

D \neq 0

x = \frac{D_{x}}{D}

y = \frac{D_{y}}{D}

avec

D_{x} = c b^{'} - c^{'} b

D_{y} = a c^{'} - a^{'} c

. Si

D = 0

: aucune ou une infinité de solutions.

Exemple à traiter : Discute selon

m

{\begin{cases} m x + 2 y = 1 \\ 2 x + m y = m \end{cases}

R2 · Méthode de Gauss

On utilise une équation (pivot) pour éliminer une inconnue des autres, par combinaisons

L_{i} \leftarrow L_{i} - k L_{1}

. On obtient un système triangulaire que l’on résout en remontant.

Exemple à traiter : Résous

{\begin{cases} x + y - z = 2 \\ 2 x - y + z = 1 \\ x + 2 y + z = 7 \end{cases}

Interprétation

Un système 3×3 peut avoir une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions (on obtient alors une équation

0 = 0

0 = k

Exemple à traiter : Résous

{\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y + z = 3 \\ 2 x + 2 z = 4 \end{cases}

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Systèmes linéaires dans ℝ² et dans ℝ³ », proposé par ndolomathndolomath

Erreurs fréquentes

⚠ Combinaison incomplète

On combine toutes les colonnes et le second membre.

⚠ Conclure trop vite

Une ligne 0 = 0 indique une infinité de solutions.

Exercice d’application

Détermine $a$ , $b$ , $c$ pour que la parabole $y = a x^{2} + b x + c$ passe par $(1; 2)$ , $(2; 3)$ et $(- 1; 6)$ .
Résous par Cramer ${\begin{cases} 3 x - 4 y = 5 \\ 2 x + 5 y = 11 \end{cases}$
Réponds à la situation problème.

À retenir

2×2 : Cramer,

D = a b^{'} - a^{'} b

. 3×3 : pivot de Gauss pour obtenir un système triangulaire.