Cours

MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Équations, inéquations Systèmes · Leçon 1

Équations et inéquations dans ℝ

Polynômes, factorisation et tableaux de signes.

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Cours de Mathématiques : « Équations et inéquations dans ℝ », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : Pour résoudre une équation ou une inéquation polynomiale ou rationnelle, on se ramène à un produit ou un quotient comparé à 0, on factorise (racine évidente, division euclidienne, discriminant), puis on conclut avec un tableau de signes.

Ce que tu vas apprendre

Résoudre des équations et inéquations du second degré, y compris avec paramètre.
Factoriser un polynôme connaissant une racine.
Résoudre des équations et inéquations de degré supérieur ou rationnelles.

Pourquoi cette leçon ?

Optimiser une production, dimensionner une citerne ou étudier une trajectoire aboutit souvent à des équations de degré 2 ou 3 qu’il faut résoudre exactement.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule le discriminant de

2 x^{2} - 3 x - 2

Vérifie que 1 est racine de

x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6

Dresse le tableau de signes de

\frac{x - 1}{x + 2}

Situation problème : La citerne cubique

Un maçon construit une citerne en forme de pavé à base carrée de côté $x$ m et de hauteur $(x - 1)$ m. Il veut un volume de 12 m³, ce qui donne l’équation $x^{3} - x^{2} - 12 = 0$ .
Quelle doit être la valeur de $x$ ?

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Activité d’apprentissage

On cherche à résoudre $P (x) = x^{3} - x^{2} - 12 = 0$ .

Teste les valeurs entières 1, 2, 3. Laquelle est racine ?
Écris $P (x) = (x - a) (x^{2} + b x + c)$ en identifiant les coefficients.
Étudie le trinôme obtenu.
Réponds à la situation problème.

Second degré

a x^{2} + b x + c = 0

Δ = b^{2} - 4 a c

. Si

Δ > 0

, deux racines

\frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}

; somme

- \frac{b}{a}

, produit

\frac{c}{a}

. Le trinôme a le signe de

a

hors des racines.

Exemple à traiter : Discute selon

m

le nombre de solutions de

x^{2} - 2 m x + m + 2 = 0

R2 · Factoriser par une racine

P (α) = 0

, alors

P (x) = (x - α) Q (x)

où

Q

a un degré de moins. On trouve

Q

par identification des coefficients ou division euclidienne.

Exemple à traiter : Factorise

P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 2

sachant que

P (2) = 0

, puis résous

P (x) \leq 0

Équations rationnelles

On écrit les conditions d’existence, on se ramène à

\frac{A (x)}{B (x)}

comparé à 0, puis on factorise

A

B

et on fait un tableau de signes.

Exemple à traiter : Résous

\frac{x^{2} - 3 x}{x - 1} \geq x + 1

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Erreurs fréquentes

⚠ Diviser par une expression

On ne divise pas par x − 1 sans connaître son signe.

⚠ Racine évidente

On teste d’abord 0, 1, −1, 2, −2 avant toute autre méthode.

Exercice d’application

Résous dans $R$ : $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ (pose $X = x^{2}$ ).
Résous $\frac{2 x + 1}{x^{2} - 4} < 0$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

On se ramène à un produit ou un quotient comparé à 0 : racine évidente et factorisation, discriminant, tableau de signes.