Cours

MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Dénombrement · Leçon 1

Premiers outils de dénombrement

Cardinaux, principe additif et multiplicatif, arbres.

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Cours de Mathématiques : « Premiers outils de dénombrement », proposé par ndolomathndolomath

Outils de dénombrement

💡 Idée principale : Dénombrer, c’est compter les éléments d’un ensemble fini sans en oublier ni en compter deux fois. On utilise le principe additif (réunion disjointe), la formule du crible, le principe multiplicatif (choix successifs), les arbres et les tableaux.

Ce que tu vas apprendre

Utiliser les cardinaux d’une réunion, d’une intersection, d’un complémentaire.
Appliquer le principe additif et le principe multiplicatif.
Construire un arbre de choix et un tableau à double entrée.
Calculer le cardinal d’un produit cartésien et le nombre de parties d’un ensemble.

Pourquoi cette leçon ?

Organiser un tournoi, choisir un menu, composer des plaques d’immatriculation ou un mot de passe : il faut savoir compter rapidement et sûrement.

Prérequis : vérifie tes bases

Combien de nombres pairs entre 1 et 99 ?

Calcule

2^{5}

3 \times 4 \times 2

Écris toutes les parties de

{a, b}

Situation problème : Les plaques d’immatriculation

Une plaque d’immatriculation est formée de 2 lettres (parmi 26), de 3 chiffres, puis de 2 lettres.
Combien de plaques différentes peut-on fabriquer ? Combien commencent par les lettres CE ?

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Activité d’apprentissage

On représente la plaque par 7 cases successives.

Combien de possibilités pour chaque case ?
Pourquoi multiplie-t-on ces nombres ?
Calcule le nombre total de plaques.
Réponds à la situation problème.

Cardinaux

card (A \cup B) = card (A) + card (B) - card (A \cap B)

; si

A

B

sont disjoints,

card (A \cup B) = card (A) + card (B)

(principe additif) ;

card (\bar{A}) = card (E) - card (A)

Exemple à traiter : Combien d’entiers de 1 à 100 sont divisibles par 2 ou par 5 ?

R2 · Principe multiplicatif

Si une situation se décompose en

k

choix successifs ayant

n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}

possibilités, le nombre total d’issues est

n_{1} \times n_{2} \times \dots \times n_{k}

. En particulier

card (A \times B) = card (A) \times card (B)

Exemple à traiter : Combien de menus avec 3 entrées, 4 plats et 2 desserts ?

Parties d’un ensemble

Un ensemble à

n

éléments possède

2^{n}

parties (pour chaque élément : pris ou non pris).

Exemple à traiter : Combien de sous-ensembles a un ensemble de 6 éléments ? Combien contiennent un élément donné ?

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Erreurs fréquentes

⚠ Additionner des choix successifs

Des choix successifs se multiplient, des cas disjoints s’additionnent.

⚠ Doubles comptes

On retire une fois l’intersection.

Exercice d’application

Combien de nombres de 3 chiffres ont au moins un chiffre 7 ? (aide : complémentaire)
Dans un groupe de 40 élèves, 25 jouent au foot, 18 au basket, 7 aux deux. Combien ne jouent à aucun ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Cas disjoints : on additionne. Choix successifs : on multiplie.

n

éléments :

2^{n}

parties.