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MATHÉMATIQUES · 1re C-E

Chapitre : Continuité et Limites d’une fonction · Leçon 1

Limites

Comportement d’une fonction aux bornes de son ensemble de définition.

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Cours de Mathématiques : « Limites », proposé par ndolomathndolomath

Limites

💡 Idée principale : La limite d’une fonction décrit le comportement de

f (x)

lorsque

x

se rapproche d’un réel ou devient très grand. On calcule les limites avec les limites usuelles et les opérations, on lève les formes indéterminées et on interprète graphiquement les asymptotes.

Ce que tu vas apprendre

Connaître les limites des fonctions usuelles.
Calculer des limites par opérations ; reconnaître et lever les formes indéterminées.
Utiliser les théorèmes de comparaison.
Interpréter graphiquement : asymptotes verticales, horizontales et obliques.

Pourquoi cette leçon ?

Que devient le coût moyen de production quand on fabrique de plus en plus d’objets ? Que se passe-t-il quand un dénominateur devient presque nul ? Les limites permettent d’étudier ces comportements extrêmes.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

\frac{1}{x}

pour

x = 10

1 000

10^{6}

Factorise

x^{2} - 9

Multiplie

\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}

par sa quantité conjuguée.

Situation problème : Le coût moyen

Une petite fabrique de savon a des frais fixes de 50 000 F par mois, et chaque savon coûte 150 F à produire. Le coût moyen d’un savon pour $x$ savons fabriqués est $C (x) = \frac{150 x + 50 000}{x}$ .
Que devient le coût moyen si la production devient très grande ? Et si elle est très faible ?

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Activité d’apprentissage

On étudie $C (x)$ pour de grandes et de petites valeurs de $x$ .

Calcule $C (100)$ , $C (10 000)$ , $C (1 000 000)$ .
Écris $C (x)$ sous la forme $150 + \frac{a}{x}$ .
Déduis-en la limite de $C (x)$ en $+ \infty$ et en $0$ à droite. Interprète graphiquement.
Réponds à la situation problème.

Limites usuelles et opérations

lim_{x \to + \infty} x^{n} = + \infty

;

lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^{n}} = 0

;

lim_{x \to + \infty} \sqrt{x} = + \infty

;

lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty

. Les limites d’une somme, d’un produit, d’un quotient s’obtiennent par les règles opératoires, sauf dans les formes indéterminées

\infty - \infty

0 \times \infty

\frac{\infty}{\infty}

\frac{0}{0}

Exemple à traiter : Calcule

lim_{x \to + \infty} (x^{3} - 2 x + 5)

lim_{x \to 1^{-}} \frac{x + 2}{x - 1}

R2 · Lever une indétermination

\pm \infty

, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré, une fraction rationnelle que le quotient de ses termes de plus haut degré. En un réel, on factorise ou on utilise la quantité conjuguée.

Exemple à traiter : Calcule

lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} - x}{3 x^{2} + 1}

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x})

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Comparaison et asymptotes

f (x) \geq g (x)

lim g = + \infty

, alors

lim f = + \infty

. Si

g \leq f \leq h

lim g = lim h = ℓ

, alors

lim f = ℓ

(gendarmes). Si

lim_{x \to a} f (x) = \pm \infty

: asymptote

x = a

; si

lim_{x \to \pm \infty} f (x) = b

: asymptote

y = b

; si

lim_{x \to \pm \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0

: asymptote oblique

y = a x + b

Exemple à traiter : Calcule

lim_{x \to + \infty} \frac{\sin x}{x}

. Montre que

y = x + 1

est asymptote à la courbe de

f (x) = x + 1 + \frac{2}{x}

Erreurs fréquentes

⚠ Formes indéterminées

\infty - \infty

n’est pas égal à 0 : il faut transformer l’expression.

⚠ Signe de 0

Pour

\frac{k}{0}

, on étudie le signe du dénominateur à gauche et à droite.

Exercice d’application

Calcule $lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + x - 6}{x + 3}$ et $lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ .
Détermine les asymptotes de la courbe de $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x - 1}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Règles opératoires, sauf FI :

\infty - \infty

0 \times \infty

\frac{\infty}{\infty}

\frac{0}{0}

. En

\infty

: termes de plus haut degré. Limite infinie en

a

: asymptote verticale.