Caractéristiques de dispersion : variance et écart type

Mesurer l’éparpillement autour de la moyenne.

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Cours de Mathématiques : « Caractéristiques de dispersion : variance et écart type », proposé par ndolomathndolomath

Variance et écart type

💡 Idée principale : La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne ; l’écart type est sa racine carrée. Plus l’écart type est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.

Ce que tu vas apprendre

Calculer l’étendue d’une série.
Calculer la variance et l’écart type.
Utiliser la formule de König-Huygens.
Comparer la dispersion de deux séries.

Pourquoi cette leçon ?

Deux tireurs ont la même moyenne de points, mais l’un est régulier et l’autre irrégulier. L’écart type mesure cette régularité.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule la moyenne de 10, 12, 14.

Calcule (10 − 12)² + (14 − 12)².

Calcule √16 et √2,25.

Situation problème : Les deux tireurs

Deux tireurs à l’arc font chacun 6 tirs. Scores de Paul : 7, 8, 8, 9, 8, 8. Scores de Joël : 4, 10, 6, 10, 9, 9.
Ont-ils la même moyenne ? Lequel est le plus régulier ?

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Activité d’apprentissage

On compare les deux séries.

Calcule la moyenne de chaque tireur.
Calcule pour chacun les écarts à la moyenne et leurs carrés.
Calcule la variance et l’écart type de chaque série.
Réponds à la situation problème.

Étendue

L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.

Exemple à traiter : Calcule l’étendue de chaque série de la situation.

R2 · Variance et écart type

V = \frac{1}{N} \sum n_{i} (x_{i} - \bar{x})^{2} σ = \sqrt{V}

Exemple à traiter : Calcule la variance et l’écart type de : 2 (3), 4 (5), 6 (2).

Formule de König-Huygens

V = \frac{1}{N} \sum n_{i} x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2}

Cette formule simplifie les calculs, surtout avec des tableaux.

Exemple à traiter : Recalcule la variance de l’exemple R2 avec cette formule.

Erreurs fréquentes

⚠ Oublier les carrés

La somme des écarts simples est toujours nulle.

⚠ Variance et écart type

L’écart type s’exprime dans l’unité des données, pas la variance.

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Exercice d’application

Calcule l’écart type d’une série en classes : [0 ; 5[ : 4 ; [5 ; 10[ : 10 ; [10 ; 15[ : 6.
Que deviennent la moyenne et l’écart type si on ajoute 2 à chaque valeur ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Variance : moyenne des carrés des écarts,

V = \overset{―}{x^{2}} - {\bar{x}}^{2}

. Écart type

σ = \sqrt{V}

: plus il est petit, plus la série est régulière.