Cours

MATHÉMATIQUES · 1re A

Chapitre : Statistiques · Leçon 3

Caractéristiques de position : moyenne et médiane

Deux façons de résumer le centre d’une série.

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Cours de Mathématiques : « Caractéristiques de position : moyenne et médiane », proposé par ndolomathndolomath

Moyenne et médiane

💡 Idée principale : La moyenne est la somme des valeurs divisée par l’effectif total ; la médiane partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif. La médiane est moins sensible aux valeurs extrêmes que la moyenne.

Ce que tu vas apprendre

Calculer la moyenne d’une série (valeurs ou classes).
Déterminer la médiane d’une série discrète.
Déterminer la médiane d’une série en classes.
Comparer moyenne et médiane.

Pourquoi cette leçon ?

Quand on parle du « salaire moyen » ou du « salaire médian », on n’obtient pas le même nombre. Comprendre la différence évite des conclusions trompeuses.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule la moyenne de 4, 8, 6, 10, 12.

Range 7, 3, 9, 5, 11, 1 dans l’ordre croissant.

Calcule 3 × 5 + 4 × 7 + 2 × 9.

Situation problème : Les salaires de la PME

Une PME de Douala emploie 9 personnes payées (en milliers de F) : 80, 85, 90, 90, 95, 100, 110, 120, 800 (le directeur).
Le directeur annonce un salaire moyen élevé. Les employés parlent du salaire médian. Qui donne l’image la plus juste des salaires ?

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Activité d’apprentissage

On calcule les deux paramètres.

Calcule le salaire moyen.
Range les salaires et donne le salaire médian.
Recalcule la moyenne sans le directeur.
Réponds à la situation problème.

Moyenne

\bar{x} = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + \dots + n_{p} x_{p}}{N} = \sum f_{i} x_{i}

. Pour une série en classes,

x_{i}

est le centre de la classe.

Exemple à traiter : Calcule la moyenne de :

[0; 4 [

: 5 ;

[4; 8 [

: 12 ;

[8; 12 [

: 8.

R2 · Médiane d’une série discrète

On range les valeurs dans l’ordre croissant. Si

N

est impair, la médiane est la valeur de rang

\frac{N + 1}{2}

; si

N

est pair, c’est la moyenne des valeurs de rangs

\frac{N}{2}

\frac{N}{2} + 1

Exemple à traiter : Donne la médiane de : 12, 15, 9, 14, 11, 16 et de 3, 8, 5, 6, 10.

Médiane d’une série en classes

On repère la classe médiane (où l’effectif cumulé croissant atteint

\frac{N}{2}

), puis on interpole linéairement :

M_{e} = a + (b - a) \times \frac{\frac{N}{2} - ECC (a)}{n_{classe}}

Exemple à traiter : Détermine la médiane de la série de l’exemple R1.

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Erreurs fréquentes

⚠ Médiane sans ranger

On range toujours la série avant de chercher la médiane.

⚠ Moyenne non pondérée

Chaque valeur est multipliée par son effectif.

Exercice d’application

Calcule la moyenne et la médiane de : note 8 (3), 10 (7), 12 (6), 14 (3), 16 (1).
Explique pourquoi la médiane d’un salaire peut être inférieure à la moyenne.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Moyenne

\bar{x} = \frac{\sum n_{i} x_{i}}{N}

. Médiane : valeur centrale de la série ordonnée, peu sensible aux valeurs extrêmes.