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MATHÉMATIQUES · 1re A

Chapitre : Fonctions : Limites et continuité · Leçon 2

Limites et continuité : calculs

Limites des fonctions usuelles et opérations.

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Cours de Mathématiques : « Limites et continuité : calculs », proposé par ndolomathndolomath

Calcul de limites

💡 Idée principale : On calcule les limites des polynômes et des fonctions rationnelles grâce aux limites des fonctions usuelles et aux règles sur les sommes, produits et quotients. Pour un polynôme en l’infini, seul compte le terme de plus haut degré.

Ce que tu vas apprendre

Connaître les limites des fonctions usuelles.
Calculer la limite d’un polynôme et d’une fonction rationnelle en l’infini.
Calculer une limite en un point et reconnaître une asymptote.
Étudier la continuité d’une fonction définie par morceaux.

Pourquoi cette leçon ?

Pour prévoir la tendance d’un coût, d’une population ou d’un bénéfice à long terme, on calcule une limite en l’infini. Pour savoir si une formule de tarif « saute » à un seuil, on étudie la continuité.

Prérequis : vérifie tes bases

Conjecture

lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x}

lim_{x \to + \infty} x^{3}

Factorise

x^{2} - 9

Donne le terme de plus haut degré de

3 x^{4} - 2 x + 5

Situation problème : La population de la ville

Un démographe modélise la population d’une ville (en milliers d’habitants) par $P (t) = \frac{600 t + 200}{t + 2}$ , où $t$ est le nombre d’années.
Vers quelle population la ville tend-elle à long terme ?

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Activité d’apprentissage

On étudie $lim_{t \to + \infty} P (t)$ .

Calcule $P (10)$ , $P (100)$ , $P (1 000)$ .
Factorise le numérateur et le dénominateur par $t$ .
Déduis-en la limite.
Réponds à la situation problème.

Limites usuelles

lim_{x \to + \infty} x^{n} = + \infty

;

lim_{x \to - \infty} x^{n} = + \infty

n

pair,

- \infty

n

impair ;

lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^{n}} = 0

;

lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty

lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = - \infty

Exemple à traiter : Donne

lim_{x \to - \infty} x^{3}

lim_{x \to + \infty} \frac{5}{x^{2}}

R2 · Polynômes et fractions rationnelles en l’infini

\pm \infty

, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré ; une fonction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré.

Exemple à traiter : Calcule

lim_{x \to - \infty} (2 x^{3} - 5 x + 1)

lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2} + 1}{x^{2} - 4}

Asymptotes et continuité

• Si

lim_{x \to \pm \infty} f (x) = b

, la droite

y = b

est asymptote horizontale.
• Si

lim_{x \to a} f (x) = \pm \infty

, la droite

x = a

est asymptote verticale.
•

f

est continue en

a

lim_{x \to a} f (x) = f (a)

Exemple à traiter : Donne les asymptotes de

f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}

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Erreurs fréquentes

⚠ Forme indéterminée

\frac{\infty}{\infty}

\infty - \infty

ne se concluent pas directement : on factorise.

⚠ Signe en 0

La limite de

\frac{1}{x}

en 0 dépend du côté.

Exercice d’application

Calcule $lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ .
Détermine la valeur de $k$ pour que la fonction égale à $x^{2}$ si $x \leq 1$ et à $k x + 3$ si $x > 1$ soit continue en 1.
Réponds à la situation problème.

À retenir

En l’infini : terme de plus haut degré (polynômes), quotient des plus hauts degrés (rationnelles). Limite finie en l’infini : asymptote horizontale ; infinie en

a

: verticale.