Cours

MATHÉMATIQUES · 1re A

Chapitre : Fonctions : Limites et continuité · Leçon 1

Approche intuitive des notions de limite et de continuité

Vers quoi s’approche f(x) quand x s’approche d’une valeur ?

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Cours de Mathématiques : « Approche intuitive des notions de limite et de continuité », proposé par ndolomathndolomath

Approche de la limite

💡 Idée principale : La limite décrit le comportement de

f (x)

quand

x

s’approche d’un nombre ou devient très grand. Une fonction est continue en

a

f (x)

s’approche de

f (a)

quand

x

s’approche de

a

: sa courbe se trace « sans lever le crayon ».

Ce que tu vas apprendre

Conjecturer une limite à l’aide d’un tableau de valeurs ou d’une courbe.
Comprendre les notions de limite finie et infinie.
Reconnaître graphiquement une fonction continue ou discontinue.

Pourquoi cette leçon ?

Que devient le coût moyen d’un produit quand on en fabrique énormément ? Que se passe-t-il pour la vitesse d’un véhicule juste avant qu’il s’arrête ? La limite répond à ces questions.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

\frac{1}{x}

pour

x = 10, 100, 1 000

Calcule

\frac{x^{2} - 1}{x - 1}

pour

x = 0, 9

x = 1, 1

Trace la courbe de

x \mapsto \frac{1}{x}

Situation problème : Le coût moyen des cahiers

Un imprimeur a 50 000 F de frais fixes et chaque cahier lui coûte 200 F. Le coût moyen d’un cahier pour $x$ cahiers est $C (x) = 200 + \frac{50 000}{x}$ .
Que devient le coût moyen quand l’imprimeur produit un très grand nombre de cahiers ?

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Activité d’apprentissage

On étudie $C (x)$ pour de grandes valeurs de $x$ .

Calcule $C (100)$ , $C (1 000)$ , $C (10 000)$ , $C (100 000)$ .
Vers quelle valeur $C (x)$ semble-t-il s’approcher ?
Peut-il descendre sous 200 F ?
Réponds à la situation problème.

Limite finie ou infinie

•

lim_{x \to + \infty} f (x) = ℓ

f (x)

devient aussi proche que l’on veut de

ℓ

quand

x

devient très grand.
•

lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty

f (x)

devient aussi grand que l’on veut.
• On définit de même les limites quand

x \to a

Exemple à traiter : Conjecture :

lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x}

lim_{x \to + \infty} x^{2}

lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}

R2 · Limite en un point

On s’intéresse à

f (x)

quand

x

s’approche de

a

, sans forcément prendre la valeur

a

. Exemple :

\frac{x^{2} - 1}{x - 1} = x + 1

pour

x \neq 1

, donc sa limite en 1 est 2.

Exemple à traiter : À l’aide d’un tableau de valeurs, conjecture

lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}

Continuité

f

est continue en

a

lim_{x \to a} f (x) = f (a)

. Graphiquement, la courbe n’a pas de « saut » en

a

. Les fonctions usuelles (polynômes, rationnelles, racine) sont continues sur leur domaine.

Exemple à traiter : Une fonction vaut

x + 1

x < 2

5 - x

x \geq 2

. Trace-la. Est-elle continue en 2 ?

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Erreurs fréquentes

⚠ Limite = valeur

La limite peut exister même si

f

n’est pas définie en

a

⚠ Infini comme nombre

+ \infty

n’est pas un nombre : on n’écrit pas

f (+ \infty)

Exercice d’application

Conjecture $lim_{x \to + \infty} \frac{3 x + 1}{x}$ avec un tableau de valeurs.
Trace une fonction discontinue en 1 et explique pourquoi.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Limite : comportement de

f (x)

quand

x

s’approche d’une valeur ou de l’infini. Continue en

a

lim_{x \to a} f (x) = f (a)

, pas de saut.