Cours
MATHÉMATIQUES · 1re A
Chapitre : Fonctions : Généralités · Leçon 2

Éléments de symétrie de la courbe d’une fonction

Reconnaître une symétrie qui n’est pas centrée en O.
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Cours de Mathématiques : « Éléments de symétrie de la courbe d’une fonction », proposé par ndolomathndolomath
Axe et centre de symétrie
💡 Idée principale : Une courbe peut avoir un axe de symétrie vertical x=a ou un centre de symétrie Ω(a;b) autres que l’axe des ordonnées ou l’origine. On le démontre avec des relations sur f(a+h) et f(a−h).
Ce que tu vas apprendre
  1. Démontrer que la droite x=a est un axe de symétrie d’une courbe.
  2. Démontrer que le point Ω(a;b) est un centre de symétrie d’une courbe.
  3. Utiliser ces symétries pour tracer une courbe.
Pourquoi cette leçon ?
La trajectoire d’un ballon est symétrique par rapport à la verticale de son sommet, une courbe en S est symétrique par rapport à son point central. Ces symétries simplifient l’étude et le tracé.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Écris x2−4x+1 sous forme canonique.
2
Étudie la parité de g(h)=h2−3.
3
Calcule f(2+h) pour f(x)=x2−4x.
Situation problème : Le jet d’eau

Le jet d’une fontaine suit la courbe f(x)=−x2+6x−5 (en mètres) pour x∈[1;5]. Le jardinier veut placer un bassin centré sous le sommet du jet.
Où le placer ? Le jet est-il symétrique ?

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Activité d’apprentissage

On étudie f(x)=−x2+6x−5.

  1. Écris f(x) sous forme canonique et repère son sommet.
  2. Calcule f(3+h) et f(3−h). Que remarques-tu ?
  3. Interprète graphiquement ce résultat.
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Axe de symétrie
La droite d’équation x=a est un axe de symétrie de la courbe de f si, pour tout h tel que a+h et a−h soient dans Df : f(a+h)=f(a−h)
Exemple à traiter : Démontre que la droite x=2 est un axe de symétrie de la courbe de f(x)=x2−4x+7.
R2 · Centre de symétrie
Le point Ω(a;b) est un centre de symétrie de la courbe de f si, pour tout h tel que a+h et a−h soient dans Df : f(a+h)+f(a−h)=2b
Exemple à traiter : Démontre que Ω(1;2) est centre de symétrie de la courbe de f(x)=2x−1x−1.
R3
Changement de repère
On peut aussi poser X=x−a, Y=y−b : la courbe est symétrique par rapport à x=a si la nouvelle fonction est paire, par rapport à Ω si elle est impaire.
Exemple à traiter : Montre que la courbe de f(x)=(x−1)3+2 a un centre de symétrie en utilisant ce changement de repère.
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Erreurs fréquentes
⚠ Confondre axe et centre
Axe : f(a+h)=f(a−h). Centre : somme égale à 2b.
⚠ Domaine
Df doit être symétrique par rapport à a.
Exercice d’application
  1. Démontre que la courbe de f(x)=x+1x−2 admet un centre de symétrie que tu préciseras.
  2. Démontre que la courbe de g(x)=|x−3|+1 admet un axe de symétrie.
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
Axe x=a : f(a+h)=f(a−h). Centre Ω(a;b) : f(a+h)+f(a−h)=2b.
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Préparation du PDF…