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MATHÉMATIQUES · 1re A

Chapitre : Fonctions : Généralités · Leçon 1

Parité d’une fonction

Fonctions paires, fonctions impaires et symétries.

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Cours de Mathématiques : « Parité d’une fonction », proposé par ndolomathndolomath

Parité

💡 Idée principale : Une fonction est paire si

f (- x) = f (x)

: sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Elle est impaire si

f (- x) = - f (x)

: sa courbe est symétrique par rapport à l’origine. La parité permet de n’étudier une fonction que sur la moitié de son domaine.

Ce que tu vas apprendre

Vérifier qu’un ensemble de définition est symétrique par rapport à 0.
Démontrer qu’une fonction est paire ou impaire.
Interpréter graphiquement la parité.

Pourquoi cette leçon ?

Beaucoup de formes (arches, paraboles, courbes de température sur une journée) sont symétriques. Reconnaître la parité d’une fonction permet de dessiner sa courbe deux fois plus vite.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

(- x)^{2}

(- x)^{3}

| - x |

Construis le symétrique d’un point par rapport à l’axe des ordonnées, puis par rapport à l’origine.

Donne l’ensemble de définition de

\frac{1}{x}

Situation problème : L’arche du portail

L’arche d’un portail a la forme de la courbe de $f (x) = 4 - x^{2}$ pour $x \in [- 2; 2]$ (en mètres). Le ferronnier a fabriqué la moitié droite de l’arche.
Peut-il obtenir la moitié gauche par symétrie ? Pourquoi ?

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Activité d’apprentissage

On étudie $f (x) = 4 - x^{2}$ .

Calcule $f (1)$ et $f (- 1)$ , puis $f (1, 5)$ et $f (- 1, 5)$ .
Exprime $f (- x)$ en fonction de $f (x)$ .
Que peux-tu dire des points $M (x; f (x))$ et $M^{'} (- x; f (- x))$ ?
Réponds à la situation problème.

Fonction paire

f

est paire si son ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 et si

f (- x) = f (x)

pour tout

x

D_{f}

. Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Exemple à traiter : Démontre que

f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 1

g (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}

sont paires.

R2 · Fonction impaire

f

est impaire si

D_{f}

est symétrique par rapport à 0 et si

f (- x) = - f (x)

pour tout

x

D_{f}

. Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.

Exemple à traiter : Démontre que

h (x) = x^{3} - 2 x

k (x) = \frac{1}{x}

sont impaires.

Ni paire ni impaire

Une fonction peut n’être ni paire ni impaire : il suffit de trouver un

x

tel que

f (- x) \neq f (x)

f (- x) \neq - f (x)

, ou que

D_{f}

ne soit pas symétrique.

Exemple à traiter : Montre que

f (x) = x^{2} + x

n’est ni paire ni impaire, ainsi que

g (x) = \sqrt{x}

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Erreurs fréquentes

⚠ Domaine oublié

D_{f}

n’est pas symétrique,

f

ne peut pas être paire ou impaire.

⚠ Un seul exemple

Vérifier

f (- 1) = f (1)

ne prouve pas la parité : il faut le montrer pour tout

x

Exercice d’application

Étudie la parité de $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$ et de $g (x) = | x | + x^{2}$ .
Complète la courbe d’une fonction impaire connue sur $[0; 3]$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Paire :

f (- x) = f (x)

, symétrie d’axe

(O y)

. Impaire :

f (- x) = - f (x)

, symétrie de centre

O

. Domaine symétrique obligatoire.