Cours

MATHÉMATIQUES · 1re A

Chapitre : Fonctions dérivées · Leçon 3

Dérivées et opérations sur les fonctions

Somme, produit, quotient.

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Cours de Mathématiques : « Dérivées et opérations sur les fonctions », proposé par ndolomathndolomath

Règles de dérivation

💡 Idée principale : On dérive une somme terme à terme, un produit par un réel en gardant le réel, et l’on utilise les formules

(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

{(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}

. Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Ce que tu vas apprendre

Dériver une somme et un produit par un réel.
Dériver un produit et un quotient.
Utiliser le signe de la dérivée pour étudier les variations.

Pourquoi cette leçon ?

Pour trouver le prix qui maximise un bénéfice ou la dimension qui minimise un coût, on dérive la fonction et on étudie le signe de sa dérivée.

Prérequis : vérifie tes bases

Donne la dérivée de

x^{3}

et de

\frac{1}{x}

Résous

6 x - 12 = 0

Étudie le signe de

3 x^{2} - 3

Situation problème : Le bénéfice de la boulangerie

Le bénéfice journalier d’une boulangerie (en milliers de F) en fonction du prix $x$ d’une baguette (en centaines de F) est $B (x) = - 2 x^{2} + 12 x - 10$ , pour $x \in [1; 5]$ .
Pour quel prix le bénéfice est-il maximal ?

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Activité d’apprentissage

On étudie $B$ sur $[1; 5]$ .

Calcule $B^{'} (x)$ .
Étudie le signe de $B^{'} (x)$ .
Dresse le tableau de variations de $B$ .
Réponds à la situation problème.

Somme et produit par un réel

(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}

;

(k u)^{'} = k u^{'}

. Un polynôme se dérive terme à terme.

Exemple à traiter : Dérive

f (x) = 4 x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 2

R2 · Produit et quotient

(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'} {(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}} (v \neq 0)

Exemple à traiter : Dérive

g (x) = (2 x + 1) (x^{2} - 3)

h (x) = \frac{x + 2}{x - 1}

Dérivée et variations

Sur un intervalle : si

f^{'} > 0

(sauf en des points isolés),

f

est strictement croissante ; si

f^{'} < 0

, strictement décroissante. Un extremum est atteint où

f^{'}

s’annule en changeant de signe.

Exemple à traiter : Dresse le tableau de variations de

f (x) = x^{3} - 3 x

Erreurs fréquentes

⚠ Produit dérivé facteur par facteur

(uv)′ n’est pas u′v′.

⚠ Signe du dénominateur

Dans un quotient, v² est toujours positif : le signe dépend du numérateur.

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Exercice d’application

Étudie les variations de $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ sur $] - 1; + \infty [$ .
Trouve le maximum de $P (x) = x (20 - 2 x)$ sur $[0; 10]$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}

(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

{(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}

. Signe de

f^{'}

: sens de variation.