Cours

MATHÉMATIQUES · 1re A

Chapitre : Fonctions dérivées · Leçon 2

Fonctions dérivées des fonctions élémentaires

Les formules à connaître par cœur.

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Cours de Mathématiques : « Fonctions dérivées des fonctions élémentaires », proposé par ndolomathndolomath

Dérivées usuelles

💡 Idée principale : Si

f

est dérivable en tout point d’un intervalle, on définit sa fonction dérivée

f^{'}

. Les dérivées des fonctions élémentaires sont à connaître :

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

{(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}

(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

Ce que tu vas apprendre

Définir la fonction dérivée.
Connaître les dérivées des fonctions usuelles.
Calculer rapidement une dérivée simple.

Pourquoi cette leçon ?

Plutôt que de recalculer une limite à chaque fois, on utilise des formules qui donnent directement la dérivée en tout point.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

f^{'} (a)

pour

f (x) = x^{2}

par la définition.

Écris

\frac{1}{x^{2}}

sous forme de puissance.

Calcule

3 x^{2}

pour

x = - 2

Situation problème : La formule générale

Un élève a calculé par la définition : pour $f (x) = x^{2}$ , $f^{'} (a) = 2 a$ ; pour $g (x) = x^{3}$ , $g^{'} (a) = 3 a^{2}$ .
Peut-on deviner une formule générale pour $x^{n}$ ? Comment l’utiliser pour $x^{5}$ ?

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Activité d’apprentissage

On cherche une régularité.

Calcule par la définition la dérivée de $x \mapsto x$ et de $x \mapsto 5$ .
Observe les résultats pour $x^{2}$ et $x^{3}$ .
Propose une formule pour la dérivée de $x^{n}$ .
Réponds à la situation problème.

Fonction dérivée

f

est dérivable en tout

x

d’un intervalle

I

, la fonction

f^{'} : x \mapsto f^{'} (x)

est la fonction dérivée de

f

sur

I

Exemple à traiter : Pour

f (x) = x^{2}

, donne

f^{'} (x)

puis

f^{'} (- 3)

f^{'} (5)

R2 · Dérivées usuelles

(k)^{'} = 0

;

(x)^{'} = 1

;

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

;

{(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}

(sur

R^{*}

) ;

(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

(sur

] 0; + \infty [

Exemple à traiter : Donne la dérivée de

x^{4}

x^{7}

\frac{1}{x}

\sqrt{x}

Domaine de dérivabilité

\sqrt{x}

est définie en 0 mais n’y est pas dérivable ;

\frac{1}{x}

n’est ni définie ni dérivable en 0.

Exemple à traiter : Sur quel intervalle

x \mapsto \sqrt{x}

est-elle dérivable ?

Erreurs fréquentes

⚠ Exposant

(x^n)′ = n x^(n−1) : on baisse l’exposant de 1.

⚠ Signe de la dérivée de 1/x

Elle vaut −1/x², toujours négative.

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Exercice d’application

Calcule la dérivée de $x^{10}$ et sa valeur en 1.
Écris l’équation de la tangente à la courbe de $\sqrt{x}$ en 4.
Réponds à la situation problème.

À retenir

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

{(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}

(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

, constante : 0.