Cours
MATHÉMATIQUES · 1re A
Chapitre : Fonctions dérivées · Leçon 1

Nombre dérivé et équation de la tangente

La pente de la tangente en un point.
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Cours de Mathématiques : « Nombre dérivé et équation de la tangente », proposé par ndolomathndolomath
Nombre dérivé
💡 Idée principale : Le nombre dérivé de f en a est la limite du taux d’accroissement f(a+h)−f(a)h quand h tend vers 0. C’est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a, d’équation y=f′(a)(x−a)+f(a).
Ce que tu vas apprendre
  1. Calculer un taux d’accroissement.
  2. Calculer un nombre dérivé par la limite.
  3. Interpréter le nombre dérivé comme pente de la tangente.
  4. Écrire l’équation de la tangente.
Pourquoi cette leçon ?
La vitesse instantanée d’un véhicule, le coût marginal d’une production ou la pente d’une route en un point précis sont des nombres dérivés.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Calcule f(3)−f(1)3−1 pour f(x)=x2.
2
Développe (2+h)2.
3
Écris l’équation de la droite de pente 3 passant par (1;2).
Situation problème : La vitesse du mototaxi

Un mototaxi démarre ; la distance parcourue (en m) après t secondes est d(t)=t2.
Quelle est sa vitesse moyenne entre t=2 et t=2+h ? Quelle est sa vitesse exactement à l’instant t=2 ?

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Activité d’apprentissage

On étudie d(t)=t2 au voisinage de t=2.

  1. Calcule la vitesse moyenne entre 2 et 3, puis entre 2 et 2,1, puis entre 2 et 2,01.
  2. Exprime d(2+h)−d(2)h en fonction de h.
  3. Vers quelle valeur tend ce quotient quand h tend vers 0 ?
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Nombre dérivé
f est dérivable en a si f(a+h)−f(a)h a une limite finie quand h→0. Cette limite est le nombre dérivé f′(a).
Exemple à traiter : Calcule f′(1) pour f(x)=x2+3x, puis g′(2) pour g(x)=1x.
R2 · Interprétation graphique
f′(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point A(a;f(a)).
Exemple à traiter : La tangente en A(1;3) passe par B(3;7). Que vaut f′(1) ?
R3
Équation de la tangente
y=f′(a)(x−a)+f(a)
Exemple à traiter : Écris l’équation de la tangente à la courbe de f(x)=x2 au point d’abscisse −1.
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Erreurs fréquentes
⚠ Oublier la limite
Le nombre dérivé est la limite du taux, pas le taux lui-même.
⚠ Point de tangence
La tangente passe par (a ; f(a)).
Exercice d’application
  1. Calcule f′(0) pour f(x)=x3−2x et écris la tangente en 0.
  2. Trace la courbe de x2 et ses tangentes en −1, 0 et 1.
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
f′(a)=limh→0f(a+h)−f(a)h, pente de la tangente. Tangente : y=f′(a)(x−a)+f(a).
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Préparation du PDF…