Cours

MATHÉMATIQUES · 1re A

Chapitre : Fonctions associées et étude des fonctions · Leçon 2

Fonctions et transformations usuelles

Déduire une courbe d’une courbe connue.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Fonctions et transformations usuelles », proposé par ndolomathndolomath

Transformations de courbes

💡 Idée principale : À partir de la courbe

C

f

, on obtient : celle de

x \mapsto f (x) + b

par une translation verticale, celle de

x \mapsto f (x - a)

par une translation horizontale, celle de

x \mapsto - f (x)

par symétrie par rapport à l’axe des abscisses, celle de

x \mapsto f (- x)

par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées, et celle de

| f |

en repliant la partie négative.

Ce que tu vas apprendre

Tracer la courbe de f(x) + b et de f(x − a).
Tracer la courbe de −f(x) et de f(−x).
Tracer la courbe de |f(x)|.

Pourquoi cette leçon ?

Plutôt que d’étudier entièrement chaque fonction, on peut souvent déduire sa courbe d’une courbe connue par une transformation simple.

Prérequis : vérifie tes bases

Trace la courbe de

x \mapsto x^{2}

Construis l’image d’un point par la translation de vecteur

(2; - 1)

Écris

| x - 3 |

sans valeur absolue.

Situation problème : Le tarif décalé

Le prix d’une course de taxi selon la distance est représenté par une courbe $C$ . La compagnie augmente tous ses prix de 200 F, puis une autre compagnie ne commence à facturer qu’après 1 km gratuit.
Comment obtenir les nouvelles courbes à partir de $C$ ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Fonctions et transformations usuelles », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On part de la fonction $f (x) = x^{2}$ .

Trace $f$ , puis $x \mapsto x^{2} + 2$ et $x \mapsto (x - 3)^{2}$ .
Quelle transformation passe de chaque courbe à celle de f ?
Trace $x \mapsto - x^{2}$ et $x \mapsto | x^{2} - 4 |$ .
Réponds à la situation problème.

Translations

La courbe de

x \mapsto f (x - a) + b

se déduit de

C

par la translation de vecteur

\vec{u} (a; b)

Exemple à traiter : Déduis la courbe de

g (x) = \frac{1}{x + 1} - 2

de celle de

x \mapsto \frac{1}{x}

R2 · Symétries

•

x \mapsto - f (x)

: symétrie par rapport à l’axe des abscisses.
•

x \mapsto f (- x)

: symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

Exemple à traiter : Trace les courbes de

\sqrt{x}

- \sqrt{x}

\sqrt{- x}

Valeur absolue

La courbe de

| f |

est celle de

f

là où

f \geq 0

, et sa symétrique par rapport à l’axe des abscisses là où

f < 0

Exemple à traiter : Trace la courbe de

| x^{2} - 2 x - 3 |

Erreurs fréquentes

⚠ Sens de translation

f(x − 3) décale vers la droite, pas vers la gauche.

⚠

f(x)

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Fonctions et transformations usuelles », proposé par ndolomathndolomath

Exercice d’application

Trace la courbe de $g (x) = (x + 2)^{2} - 1$ à partir de celle de $x^{2}$ .
Trace la courbe de $h (x) = | 2 x - 4 |$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

f (x - a) + b

: translation

(a; b)

- f (x)

: symétrie d’axe

(O x)

f (- x)

: symétrie d’axe

(O y)

| f |

: on replie la partie négative.