Cours

MATHÉMATIQUES · 1re A

Chapitre : Fonctions associées et étude des fonctions · Leçon 1

Étude de fonctions polynômes et homographiques sur un intervalle borné

Domaine, dérivée, variations, tableau, courbe.

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Cours de Mathématiques : « Étude de fonctions polynômes et homographiques sur un intervalle borné », proposé par ndolomathndolomath

Étude de fonctions

💡 Idée principale : Étudier une fonction, c’est déterminer son domaine, calculer sa dérivée, étudier le signe de celle-ci, dresser le tableau de variations, puis tracer la courbe avec quelques points et tangentes.

Ce que tu vas apprendre

Suivre le plan d’étude d’une fonction.
Étudier une fonction polynôme de degré 2 ou 3.
Étudier une fonction homographique.
Tracer la courbe représentative.

Pourquoi cette leçon ?

Toute modélisation (coût, recette, population) se termine par l’étude d’une fonction : on veut savoir où elle augmente, où elle diminue et quels sont ses extremums.

Prérequis : vérifie tes bases

Dérive

x^{3} - 6 x^{2} + 9 x

Résous

3 x^{2} - 12 x + 9 = 0

Dérive

\frac{x + 1}{x - 2}

Situation problème : La boîte de sardines

Une conserverie fabrique des boîtes dont le volume (en dL) dépend d’une dimension $x$ (en cm) selon $V (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 36 x$ , pour $x \in [0; 6]$ .
Pour quelle valeur de $x$ le volume est-il maximal ? Trace la courbe de $V$ .

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Activité d’apprentissage

On étudie $V$ sur $[0; 6]$ .

Calcule $V^{'} (x)$ et factorise-la.
Étudie le signe de $V^{'} (x)$ sur $[0; 6]$ .
Dresse le tableau de variations.
Trace la courbe et réponds à la situation.

Plan d’étude

1. Domaine. 2. Dérivée. 3. Signe de la dérivée. 4. Tableau de variations (avec valeurs aux bornes et extremums). 5. Quelques points et tangentes. 6. Tracé.

Exemple à traiter : Étudie

f (x) = x^{2} - 4 x + 1

sur

[- 1; 5]

R2 · Fonction polynôme de degré 3

f^{'} (x)

est un trinôme : on étudie son signe avec son discriminant et ses racines.

Exemple à traiter : Étudie

g (x) = - x^{3} + 3 x^{2}

sur

[- 1; 3]

Fonction homographique

Pour

f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}

f^{'} (x) = \frac{a d - b c}{(c x + d)^{2}}

, de signe constant :

f

est monotone sur chaque intervalle du domaine.

Exemple à traiter : Étudie

h (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}

sur

[0; 4]

Erreurs fréquentes

⚠ Bornes oubliées

On calcule f aux bornes de l’intervalle d’étude.

⚠ Tableau incohérent

Les flèches doivent correspondre au signe de f′.

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Exercice d’application

Étudie $f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ sur $[- 2; 2]$ et trace sa courbe.
Étudie $g (x) = \frac{x}{x + 2}$ sur $[0; 6]$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Plan : domaine, dérivée, signe, tableau de variations, points, tracé.