Cours

MATHÉMATIQUES · 1re A

Chapitre : Équations, inéquations et systèmes · Leçon 4

Inéquations du second degré et systèmes du premier degré dans ℝ²

Signe du trinôme et systèmes de deux équations.

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Cours de Mathématiques : « Inéquations du second degré et systèmes du premier degré dans ℝ² », proposé par ndolomathndolomath

Inéquations du 2nd degré et systèmes

💡 Idée principale : Pour résoudre une inéquation du second degré, on étudie le signe du trinôme grâce à ses racines. Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues se résout par substitution, combinaison ou déterminants.

Ce que tu vas apprendre

Résoudre une inéquation du second degré.
Résoudre un système de deux équations linéaires dans $R^{2}$ .
Mettre un problème en inéquation ou en système.

Pourquoi cette leçon ?

Déterminer les prix pour lesquels un commerce est rentable, ou retrouver deux prix à partir de deux factures, sont des problèmes courants qui utilisent ces outils.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule le discriminant de

x^{2} - 2 x - 8

Factorise

x^{2} - 2 x - 8

Résous

{\begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{cases}

Situation problème : La recette du cinéma

Un cinéma de quartier remarque que s’il fixe le prix du billet à $x$ centaines de francs, sa recette (en milliers de F) vaut $R (x) = - 2 x^{2} + 40 x$ . Le gérant veut une recette d’au moins 150 000 F.
Quels prix peut-il choisir ?

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Activité d’apprentissage

On résout $R (x) \geq 150$ .

Écris l’inéquation sous la forme $a x^{2} + b x + c \geq 0$ (ou $\leq 0$ ).
Calcule le discriminant et les racines.
Étudie le signe du trinôme.
Réponds à la situation problème.

Inéquation du second degré

On ramène l’inéquation à

a x^{2} + b x + c

comparé à 0, on calcule

Δ

et les racines, puis on utilise la règle : signe de

a

à l’extérieur des racines, signe contraire entre elles ; toujours signe de

a

Δ < 0

Exemple à traiter : Résous :

x^{2} - 5 x + 4 \leq 0

;

- x^{2} + 2 x - 3 < 0

R2 · Système linéaire

{\begin{cases} a x + b y = c \\ a^{'} x + b^{'} y = c^{'} \end{cases}

: on calcule

D = a b^{'} - a^{'} b

. Si

D \neq 0

, solution unique

x = \frac{c b^{'} - c^{'} b}{D}

y = \frac{a c^{'} - a^{'} c}{D}

. On peut aussi substituer ou combiner.

Exemple à traiter : Résous :

{\begin{cases} 2 x + 3 y = 12 \\ 5 x - y = 13 \end{cases}

Mise en problème

1. Choisir les inconnues. 2. Traduire l’énoncé. 3. Résoudre. 4. Vérifier que la solution a un sens (nombres positifs, entiers…).

Exemple à traiter : 3 kg de riz et 2 L d’huile coûtent 3 800 F ; 2 kg de riz et 3 L d’huile coûtent 4 200 F. Trouve le prix du kg de riz et du litre d’huile.

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Erreurs fréquentes

⚠ Inégalité mal transformée

En multipliant par

- 1

, on change le sens de l’inégalité.

⚠ Δ négatif

Δ < 0

, le trinôme a un signe constant : les solutions sont

R

\emptyset

Exercice d’application

Résous : $2 x^{2} + x - 6 > 0$ .
Résous : ${\begin{cases} 4 x - 3 y = 1 \\ 6 x + 5 y = 49 \end{cases}$
Réponds à la situation problème.

À retenir

Inéquation du 2nd degré : racines et signe de

a

. Système :

D = a b^{'} - a^{'} b

;

D \neq 0

donne une solution unique.