Cours

MATHÉMATIQUES · 1re A

Chapitre : Équations, inéquations et systèmes · Leçon 3

Équations du second degré : forme canonique, discriminant, factorisation, signe

Résoudre ax² + bx + c = 0 et étudier son signe.

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Cours de Mathématiques : « Équations du second degré : forme canonique, discriminant, factorisation, signe », proposé par ndolomathndolomath

Second degré

💡 Idée principale : Le trinôme

a x^{2} + b x + c

(

a \neq 0

) s’écrit sous forme canonique. Son discriminant

Δ = b^{2} - 4 a c

indique s’il a deux, une ou aucune racine. On en déduit sa factorisation et son signe : celui de

a

sauf entre les racines.

Ce que tu vas apprendre

Écrire un trinôme sous forme canonique.
Calculer le discriminant et résoudre une équation du second degré.
Factoriser un trinôme et étudier son signe.
Résoudre des systèmes se ramenant au second degré (somme et produit).

Pourquoi cette leçon ?

Trouver les dimensions d’un terrain d’aire donnée, le prix qui rend une recette maximale ou deux nombres dont on connaît la somme et le produit : ce sont des équations du second degré.

Prérequis : vérifie tes bases

Développe

(x - 2)^{2}

(x + 3) (x - 5)

Calcule

b^{2} - 4 a c

pour

a = 1

b = - 5

c = 6

Résous

(x - 1) (2 x + 3) = 0

Situation problème : Le champ de maïs

Un champ rectangulaire a un périmètre de 140 m et une aire de 1 200 m².
Quelles sont ses dimensions ?

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Activité d’apprentissage

On note $x$ et $y$ la longueur et la largeur.

Écris le système vérifié par $x + y$ et $x y$ .
Montre que $x$ et $y$ sont solutions de $X^{2} - 70 X + 1 200 = 0$ .
Calcule le discriminant et résous l’équation.
Réponds à la situation problème.

Forme canonique et discriminant

a x^{2} + b x + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{Δ}{4 a} avec Δ = b^{2} - 4 a c

Exemple à traiter : Écris sous forme canonique

x^{2} - 6 x + 5

2 x^{2} + 4 x - 6

R2 · Racines et factorisation

•

Δ > 0

x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

.
•

Δ = 0

: racine double

x_{0} = - \frac{b}{2 a}

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{0})^{2}

.
•

Δ < 0

: pas de racine, pas de factorisation.

Exemple à traiter : Résous et factorise si possible :

x^{2} - 7 x + 12

;

9 x^{2} - 6 x + 1

;

x^{2} + 2 x + 5

Signe et somme-produit

Le trinôme est du signe de

a

sauf entre ses racines. Deux nombres de somme

S

et de produit

P

sont les solutions de

X^{2} - S X + P = 0

Exemple à traiter : Étudie le signe de

- 2 x^{2} + x + 3

. Trouve deux nombres de somme 13 et de produit 40.

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Erreurs fréquentes

⚠ Oublier le cas Δ < 0

Pas de racine ne veut pas dire erreur de calcul.

⚠ Signe de a

Le signe « par défaut » du trinôme est celui de

a

, pas celui de

c

Exercice d’application

Résous : $3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$ puis $3 x^{2} - 5 x - 2 > 0$ .
Trouve deux nombres de somme 20 et de produit 96.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Δ = b^{2} - 4 a c

. Racines

\frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}

. Signe de

a

sauf entre les racines. Somme

S

et produit

P

X^{2} - S X + P = 0