Cours

MATHÉMATIQUES · 1re A

Chapitre : Équations, inéquations et systèmes · Leçon 2

Tableau des signes d’un quotient

Étudier le signe de A(x)/B(x).

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Cours de Mathématiques : « Tableau des signes d’un quotient », proposé par ndolomathndolomath

Signe d’un quotient

💡 Idée principale : Le signe d’un quotient de binômes s’obtient comme celui d’un produit : on étudie le signe de chaque facteur dans un tableau, puis on applique la règle des signes. Les valeurs qui annulent le dénominateur sont interdites.

Ce que tu vas apprendre

Étudier le signe d’un binôme $a x + b$ .
Construire le tableau de signes d’un produit ou d’un quotient.
Utiliser le tableau pour résoudre une inéquation.

Pourquoi cette leçon ?

Un rendement, un bénéfice par unité ou une vitesse moyenne peuvent être positifs ou négatifs selon les valeurs. Le tableau de signes montre clairement où ils changent de signe.

Prérequis : vérifie tes bases

Résous

- 2 x + 6 = 0

Donne le signe de

- 3 \times 4

et de

\frac{- 5}{- 2}

Range dans l’ordre croissant :

- \frac{1}{2}

, 3,

- 4

Situation problème : Le bénéfice par article

Le bénéfice par article d’un commerçant est $b (x) = \frac{x - 40}{x + 10}$ (en milliers de F), où $x$ est le nombre d’articles vendus.
Pour quelles valeurs de $x$ le bénéfice est-il positif ? négatif ?

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Activité d’apprentissage

On étudie le signe de $b (x)$ pour $x \geq 0$ .

Étudie le signe de $x - 40$ .
Étudie le signe de $x + 10$ pour $x \geq 0$ .
Construis le tableau de signes du quotient.
Réponds à la situation problème.

Signe de ax + b

a x + b

(

a \neq 0

) s’annule en

x_{0} = - \frac{b}{a}

, est du signe de

a

pour

x > x_{0}

et du signe contraire pour

x < x_{0}

Exemple à traiter : Étudie le signe de

- 4 x + 8

et de

3 x + 1

R2 · Tableau de signes d’un quotient

On place sur la première ligne les valeurs qui annulent chaque facteur (dans l’ordre croissant), une ligne par facteur, puis une ligne pour le quotient. La valeur qui annule le dénominateur est marquée d’une double barre.

Exemple à traiter : Dresse le tableau de signes de

\frac{2 x - 6}{x + 4}

Résoudre une inéquation

Une fois le tableau construit, on lit les intervalles où le quotient a le signe demandé, en incluant ou excluant les bornes selon l’inégalité et les valeurs interdites.

Exemple à traiter : Résous :

\frac{(x - 1) (x + 2)}{x - 3} \geq 0

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Erreurs fréquentes

⚠ Bornes mal traitées

La valeur interdite est toujours exclue, même pour

\geq

⚠ Ordre des valeurs

Les valeurs doivent être rangées dans l’ordre croissant sur la première ligne.

Exercice d’application

Dresse le tableau de signes de $\frac{3 - x}{2 x + 1}$ et résous $\frac{3 - x}{2 x + 1} > 0$ .
Résous : $\frac{x + 2}{x - 1} \leq 2$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Signe d’un quotient : une ligne par facteur, règle des signes, double barre à la valeur interdite.