Cours
MATHÉMATIQUES · 1re A
Chapitre : Équations, inéquations et systèmes · Leçon 1

Équations et inéquations associées aux fonctions homographiques

Résoudre des équations et inéquations avec un quotient de binômes.
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Cours de Mathématiques : « Équations et inéquations associées aux fonctions homographiques », proposé par ndolomathndolomath
Fonctions homographiques
💡 Idée principale : Une fonction homographique s’écrit f(x)=ax+bcx+d avec c≠0 et ad−bc≠0. Elle n’est pas définie en −dc. On résout f(x)=k ou f(x)>k en se ramenant à un quotient comparé à 0.
Ce que tu vas apprendre
  1. Reconnaître une fonction homographique et son ensemble de définition.
  2. Résoudre une équation ax+bcx+d=k.
  3. Résoudre une inéquation à l’aide d’un tableau de signes.
Pourquoi cette leçon ?
Le coût moyen d’une production qui comprend des frais fixes s’écrit sous forme homographique. Savoir à partir de quelle quantité ce coût passe sous un seuil revient à résoudre une inéquation homographique.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Résous 3x−6=0.
2
Dresse le tableau de signes de 2x+4.
3
Réduis au même dénominateur x+1x−2−3.
Situation problème : Le coût moyen du savon

Une savonnerie artisanale a 20 000 F de frais fixes par jour et chaque savon coûte 150 F à produire. Le coût moyen d’un savon pour x savons est C(x)=150x+20000x.
Combien faut-il produire de savons pour que le coût moyen soit inférieur à 250 F ?

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Activité d’apprentissage

On étudie C(x)<250 avec x>0.

  1. Pour quelle valeur de x l’expression n’est-elle pas définie ?
  2. Écris C(x)−250 sous la forme d’un seul quotient.
  3. Étudie le signe de ce quotient pour x>0.
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Fonction homographique
f(x)=ax+bcx+d (c≠0, ad−bc≠0) est définie sur R∖{−dc}.
Exemple à traiter : Donne l’ensemble de définition de f(x)=2x−1x+3 et de g(x)=x4−2x.
R2 · Équations
Pour résoudre ax+bcx+d=k : on écrit la condition cx+d≠0, puis ax+b=k(cx+d), on résout et on vérifie que la solution n’est pas interdite.
Exemple à traiter : Résous : 2x+1x−3=5 ; x+42x−1=0.
R3
Inéquations
On se ramène à A(x)B(x)≥0 (ou >, ≤, <) en tout passant dans un membre, puis on fait un tableau de signes, avec une double barre pour la valeur interdite.
Exemple à traiter : Résous : x−2x+1≤0 ; 3xx−2>2.
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Erreurs fréquentes
⚠ Multiplier sans précaution
On ne multiplie pas une inéquation par cx+d sans connaître son signe.
⚠ Valeur interdite
Elle n’est jamais solution.
Exercice d’application
  1. Résous : x+5x−1=x+1x−2.
  2. Résous : 2x−3x+2≥1.
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
Fonction homographique : définie sauf en −dc. Équation : produit en croix avec condition. Inéquation : quotient comparé à 0 et tableau de signes.
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Préparation du PDF…