Cours

MATHÉMATIQUES · 1re A

Chapitre : Dénombrement · Leçon 5

Combinaisons

Choisir sans ordre et sans répétition.

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Cours de Mathématiques : « Combinaisons », proposé par ndolomathndolomath

Combinaisons

💡 Idée principale : Une combinaison de

p

éléments parmi

n

est un sous-ensemble à

p

éléments : l’ordre ne compte pas. Leur nombre est

C_{n}^{p} = \frac{n!}{p! (n - p)!}

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une situation de combinaison.
Calculer $C_{n}^{p}$ et utiliser ses propriétés.
Choisir entre p-liste, arrangement et combinaison.

Pourquoi cette leçon ?

Choisir une équipe de 5 joueurs, une délégation de 3 élèves ou 6 numéros d’une loterie : seul compte qui est choisi, pas l’ordre. Ce sont des combinaisons.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

A_{6}^{3}

3!

Calcule

\frac{5!}{2! \times 3!}

Écris tous les sous-ensembles à 2 éléments de

{a, b, c}

Situation problème : La délégation de la classe

La 1ère A compte 30 élèves, dont 18 filles. Elle doit envoyer une délégation de 3 élèves au conseil d’établissement.
Combien de délégations possibles ? Combien comportent exactement 2 filles ?

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Activité d’apprentissage

On compte les délégations.

Calcule le nombre de façons de choisir 3 élèves dans l’ordre.
Combien de fois chaque groupe de 3 est-il compté dans ce nombre ?
Déduis-en le nombre de délégations.
Pour 2 filles et 1 garçon : combien de choix pour les filles ? pour le garçon ? Réponds à la situation.

Définition et formule

Une combinaison de

p

éléments parmi

n

est une partie à

p

éléments. Leur nombre est :

C_{n}^{p} = \frac{A_{n}^{p}}{p!} = \frac{n!}{p! (n - p)!}

Exemple à traiter : Calcule

C_{5}^{2}

C_{8}^{3}

C_{10}^{1}

R2 · Propriétés

C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1

;

C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}

;

C_{n}^{p} = C_{n - 1}^{p - 1} + C_{n - 1}^{p}

(triangle de Pascal).

Exemple à traiter : Calcule

C_{20}^{18}

sans calculatrice. Construis les 6 premières lignes du triangle de Pascal.

Choisir le bon outil

• Ordre et répétitions : p-liste (

n^{p}

).
• Ordre sans répétition : arrangement (

A_{n}^{p}

).
• Ni ordre ni répétition : combinaison (

C_{n}^{p}

Exemple à traiter : Pour chaque situation, choisis l’outil : un code de 4 chiffres ; un podium de 3 coureurs parmi 10 ; une main de 5 cartes parmi 32.

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Erreurs fréquentes

⚠ Ordre qui ne compte pas

Pour un groupe, on n’utilise pas

A_{n}^{p}

mais

C_{n}^{p}

⚠ Additionner ou multiplier

Pour « 2 filles et 1 garçon », on multiplie les nombres de choix.

Exercice d’application

Une urne contient 6 boules rouges et 4 vertes. On en tire 3 simultanément. Combien de tirages contiennent exactement 2 rouges ?
Combien de poignées de main sont échangées si 15 personnes se saluent toutes une fois ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Combinaison : ni ordre ni répétition.

C_{n}^{p} = \frac{n!}{p! (n - p)!}

C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}

. Choisir entre

n^{p}

A_{n}^{p}

C_{n}^{p}