Cours
MATHÉMATIQUES · 1re A
Chapitre : Dénombrement · Leçon 4

Permutations

Toutes les façons de ranger n objets.
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Cours de Mathématiques : « Permutations », proposé par ndolomathndolomath
Permutations
💡 Idée principale : Une permutation d’un ensemble à n éléments est une façon de les ranger tous dans un ordre. Il y en a n!=n×(n−1)×⋯×2×1.
Ce que tu vas apprendre
  1. Reconnaître une permutation.
  2. Calculer n! et l’utiliser.
  3. Dénombrer des rangements avec contraintes.
Pourquoi cette leçon ?
De combien de façons peut-on placer des invités autour d’une table, ranger des livres sur une étagère, ou ordonner les passages à l’oral ? Ce sont des permutations.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Calcule A55.
2
Calcule 4×3×2×1.
3
Écris toutes les façons de ranger les lettres A, B, C.
Situation problème : L’ordre de passage

Six élèves de 1ère A doivent passer l’oral de français. Le professeur tire l’ordre de passage au sort.
Combien d’ordres de passage différents sont possibles ? Et si Fatima doit absolument passer en premier ?

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Activité d’apprentissage

On compte les ordres de passage.

  1. Combien de choix pour la première place ? la deuxième ? jusqu’à la sixième ?
  2. Calcule le nombre total d’ordres.
  3. Si Fatima est fixée en première place, combien reste-t-il d’élèves à ranger ?
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Définition
Une permutation d’un ensemble à n éléments est un arrangement de ces n éléments : on les range tous. Il y en a : n!=n×(n−1)×⋯×2×1
Exemple à traiter : Calcule 4!, 6! et 10!8!.
R2 · Rangements avec contraintes
Si certains éléments ont une place imposée, on permute les autres. Si des éléments doivent rester ensemble, on les considère comme un bloc, puis on permute à l’intérieur du bloc.
Exemple à traiter : De combien de façons 5 personnes peuvent-elles s’asseoir sur un banc si deux d’entre elles veulent être côte à côte ?
R3
Anagrammes
Le nombre d’anagrammes d’un mot de n lettres toutes différentes est n!. Si une lettre est répétée k fois, on divise par k!.
Exemple à traiter : Combien d’anagrammes ont les mots NDOLE, et MAMA ?
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Erreurs fréquentes
⚠ Oublier le bloc interne
Quand deux personnes forment un bloc, elles peuvent aussi s’échanger : on multiplie par 2.
⚠ 0!
Par convention, 0!=1.
Exercice d’application
  1. De combien de façons peut-on ranger 7 livres différents sur une étagère ?
  2. Combien d’anagrammes a le mot BAFANG ?
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
Permutation : ranger les n éléments. Nombre : n!. Contraintes : fixer les places imposées, former des blocs.
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Préparation du PDF…