Cours

MATHÉMATIQUES · 1re A

Chapitre : Dénombrement · Leçon 3

Arrangements

Choix ordonnés sans répétition.

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Cours de Mathématiques : « Arrangements », proposé par ndolomathndolomath

Arrangements

💡 Idée principale : Un arrangement de

p

éléments parmi

n

est une suite ordonnée de

p

éléments distincts. Leur nombre est

A_{n}^{p} = n (n - 1) \dots (n - p + 1) = \frac{n!}{(n - p)!}

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une situation d’arrangement.
Calculer $A_{n}^{p}$ et utiliser la notation factorielle.
Résoudre des problèmes de classement, de podium, de codes à chiffres distincts.

Pourquoi cette leçon ?

Classer les trois premiers d’une course, attribuer des postes différents (président, trésorier, secrétaire) : l’ordre compte et une personne ne peut pas occuper deux places. Ce sont des arrangements.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

5 \times 4 \times 3

Combien de codes de 3 chiffres (répétitions permises) ?

Calcule

\frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1}

Situation problème : Le bureau de l’association

L’association des élèves d’un lycée de Garoua compte 12 membres. Elle doit élire un président, un trésorier et un secrétaire, trois personnes différentes.
Combien de bureaux différents peut-on former ?

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Activité d’apprentissage

On compte les bureaux possibles.

Combien de choix pour le président ?
Une fois le président choisi, combien de choix pour le trésorier ? puis pour le secrétaire ?
Calcule le nombre de bureaux.
Compare avec le nombre de 3-listes de 12 éléments. Pourquoi est-il plus petit ?

Définition

Un arrangement de

p

éléments d’un ensemble

E

n

éléments (

p \leq n

) est une p-liste d’éléments deux à deux distincts.

Exemple à traiter : Écris tous les arrangements de 2 éléments de

{a, b, c}

R2 · Nombre d’arrangements

A_{n}^{p} = n (n - 1) (n - 2) \dots (n - p + 1) = \frac{n!}{(n - p)!}

où

n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1

0! = 1

Exemple à traiter : Calcule

A_{7}^{3}

A_{10}^{2}

5!

Reconnaître la situation

On reconnaît un arrangement quand : l’ordre compte et il n’y a pas de répétition (tirages successifs sans remise).

Exemple à traiter : Combien de façons de distribuer 3 prix différents à 3 élèves parmi 20 ?

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Erreurs fréquentes

⚠ Avec ou sans répétition

Sans répétition : arrangement ; avec : p-liste.

⚠ Ordre qui ne compte pas

Si l’ordre ne compte pas, ce n’est pas un arrangement mais une combinaison.

Exercice d’application

Combien de nombres de 4 chiffres tous différents peut-on écrire avec les chiffres 1 à 9 ?
8 coureurs participent à une course. Combien de podiums (or, argent, bronze) possibles ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Arrangement : ordre compte, sans répétition.

A_{n}^{p} = \frac{n!}{(n - p)!}