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MATHÉMATIQUES · 1re A

Chapitre : Dénombrement · Leçon 2

p-listes d’éléments d’un ensemble

Choix ordonnés avec répétition.

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Cours de Mathématiques : « p-listes d’éléments d’un ensemble », proposé par ndolomathndolomath

p-listes

💡 Idée principale : Une p-liste d’éléments d’un ensemble à

n

éléments est une suite ordonnée de

p

éléments, éventuellement répétés. Il y en a

n^{p}

, car chaque position peut être occupée par l’un des

n

éléments.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître une situation de p-liste (ordre et répétition).
Calculer le nombre de p-listes : $n^{p}$ .
Utiliser un arbre pour représenter des p-listes.

Pourquoi cette leçon ?

Codes de cadenas, numéros de téléphone, mots de passe, résultats de plusieurs lancers de dé : l’ordre compte et les répétitions sont permises. Ce sont des p-listes.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

10^{4}

2^{5}

Combien de résultats possibles quand on lance une pièce ?

Construis l’arbre de deux lancers de pièce.

Situation problème : Le code du cadenas

Le cadenas de la boutique de Mama Nkolo a un code de 4 chiffres, chacun de 0 à 9. Un voleur essaie un code toutes les 5 secondes.
Combien de codes possibles y a-t-il ? Combien de temps lui faudrait-il au maximum pour les essayer tous ?

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Activité d’apprentissage

On compte les codes possibles.

Combien de choix pour le premier chiffre ? le deuxième ? le troisième ? le quatrième ?
Les chiffres peuvent-ils se répéter ? L’ordre compte-t-il ?
Calcule le nombre total de codes.
Réponds à la situation problème.

Définition

Une p-liste (ou p-uplet) d’éléments d’un ensemble

E

est une suite ordonnée

(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{p})

d’éléments de

E

, non nécessairement distincts.

Exemple à traiter : Écris toutes les 2-listes de l’ensemble

{a, b, c}

R2 · Nombre de p-listes

card (E) = n

, le nombre de p-listes d’éléments de

E

est :

n^{p}

Exemple à traiter : Combien de numéros de téléphone de 9 chiffres commençant par 6 existe-t-il ?

Reconnaître la situation

On reconnaît une p-liste quand : on choisit

p

fois, l’ordre compte et les répétitions sont permises (tirages successifs avec remise).

Exemple à traiter : On tire successivement avec remise 3 boules dans une urne contenant 5 boules numérotées. Combien de tirages possibles ?

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Erreurs fréquentes

⚠ Confondre avec un arrangement

Avec répétition permise, c’est

n^{p}

, pas

n (n - 1) \dots

⚠ Inverser n et p

C’est le nombre de choix

n

à la puissance du nombre de positions

p

Exercice d’application

Un QCM a 10 questions avec 4 réponses possibles chacune. Combien de façons de répondre ?
Combien de mots de 5 lettres (avec ou sans sens) peut-on écrire avec l’alphabet ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

p-liste : ordre compte, répétitions permises. Nombre :

n^{p}