Cours

MATHÉMATIQUES · 1re A

Chapitre : Dénombrement · Leçon 1

Ensembles finis : réunion, intersection, complémentaire, produit cartésien

Les outils de base pour compter.

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Cours de Mathématiques : « Ensembles finis : réunion, intersection, complémentaire, produit cartésien », proposé par ndolomathndolomath

Ensembles finis

💡 Idée principale : Pour dénombrer, on travaille avec des ensembles finis et leur cardinal. On utilise la réunion, l’intersection, le complémentaire et le produit cartésien, avec des formules qui évitent les doubles comptes.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer la réunion, l’intersection et le complémentaire d’ensembles.
Utiliser $card (A \cup B) = card (A) + card (B) - card (A \cap B)$ .
Utiliser $card (\bar{A}) = card (E) - card (A)$ .
Calculer le cardinal d’un produit cartésien.

Pourquoi cette leçon ?

Pour organiser un tournoi, constituer des équipes ou exploiter une enquête, on doit compter avec précision. Les ensembles et leurs opérations sont la base du dénombrement.

Prérequis : vérifie tes bases

Écris l’ensemble des multiples de 3 inférieurs à 20.

Combien y a-t-il de nombres pairs entre 1 et 50 ?

Dessine un diagramme de Venn avec deux ensembles qui se chevauchent.

Situation problème : L’enquête sur les langues

Dans une classe de 1ère A de 50 élèves, 32 parlent l’anglais, 20 parlent l’espagnol et 9 parlent les deux langues.
Combien d’élèves parlent au moins une de ces langues ? Combien n’en parlent aucune ?

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Activité d’apprentissage

On note $E$ la classe, $A$ les anglophones et $S$ les hispanophones.

Représente la situation par un diagramme de Venn.
Combien d’élèves parlent seulement l’anglais ? seulement l’espagnol ?
Calcule $card (A \cup S)$ de deux façons.
Réponds à la situation problème.

Opérations

A \cup B

: éléments de

A

ou de

B

;

A \cap B

: éléments communs ;

\bar{A}

(dans

E

) : éléments de

E

qui ne sont pas dans

A

. Deux ensembles sont disjoints si

A \cap B = \emptyset

Exemple à traiter :

E = {1, \dots, 12}

A

les pairs,

B

les multiples de 3. Écris

A \cup B

A \cap B

\bar{A}

R2 · Cardinaux

card (A \cup B) = card (A) + card (B) - card (A \cap B) card (\bar{A}) = card (E) - card (A)

Exemple à traiter : Dans un village de 400 habitants, 250 ont un téléphone, 180 une radio, 100 les deux. Combien n’ont ni l’un ni l’autre ?

Produit cartésien

A \times B

est l’ensemble des couples

(a; b)

avec

a \in A

b \in B

. On a

card (A \times B) = card (A) \times card (B)

Exemple à traiter : Avec 4 chemises et 3 pantalons, combien de tenues (chemise, pantalon) peut-on former ?

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Erreurs fréquentes

⚠ Double compte

Les éléments communs sont comptés deux fois si on additionne simplement.

⚠ Couples ordonnés

Dans un produit cartésien,

(a; b)

(b; a)

sont différents.

Exercice d’application

Sur 120 élèves, 70 font du sport, 45 de la musique, 30 les deux. Combien ne font ni l’un ni l’autre ?
Combien de mots de deux lettres (sens ou non) peut-on écrire avec les 26 lettres ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

card (A \cup B) = card (A) + card (B) - card (A \cap B)

card (A \times B) = card (A) \times card (B)