Chapitre 01 — Leçon 5

LEÇON 5 : Équations et Inéquations irrationnelles

Prérequis :

Savoir résoudre une équation/une inéquation du premier et second degré.

Objectifs pédagogiques :

À la fin de cette leçon, l'élève sera capable de :

Résoudre une équation et inéquation irrationnelle.

Situation problème :

Monsieur KADER dispose d'un champ ayant la forme d'un triangle rectangle dont il a oublié l'une des dimensions. Il se souvient que l'un des côtés mesure 4 m et que la longueur du plus grand côté de ce champ est égale au double de la longueur de l'autre côté diminuée de dix mètres. Aide Monsieur KADER à retrouver les dimensions de son champ.

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Activité d’apprentissage :

On considère l'équation $(E): \sqrt{x^2 + 1600} = 2x - 10$.

Donner la contrainte de résolution sous cette équation.
Sous cette contrainte, résoudre alors l'équation (E) en élevant les deux membres de l'équation (E) au carré.
En déduire la solution de la situation problème.

Résumé :

On appelle équation irrationnelle, toute équation possédant un radical (symbole $\sqrt{\phantom{x}}$). Dans cette leçon, on se limitera aux équations de la forme $\sqrt{ax+b}=cx+d$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des réels.
Pour résoudre une équation irrationnelle, on commence par déterminer la/les contrainte(s) et sous ces contraintes on détermine la (ou les) solution(s) qui satisfont la contrainte.
Soit à résoudre l'équation $\sqrt{ax+b}=cx+d$, elle se réduit au système : $$ \left\{ \begin{array}{c} cx + d \geq 0 \\ ax + b = (cx + d)^2 \end{array} \right. $$

Remarque :

La contrainte est indispensable lorsqu'il s'agit de résoudre une équation irrationnelle.

Exercices d’application

Résoudre dans $\mathbb{R}$, les équations :

$\sqrt{4 - x} = x - 2$
$\sqrt{7 - 2x} = x + 4$
$\sqrt{2 - x} = x + 10$

Activité d’apprentissage :

On considère l'inéquation (I) : $\sqrt{2 - x} < x + 10$.

Donner la contrainte de résolution sous cette inéquation.
Sous cette contrainte, résoudre alors l'inéquation (I) en élevant les deux membres de l'inéquation (I) au carré.

Résumé :

On appelle inéquation irrationnelle, toute inéquation possédant un radical (symbole $\sqrt{\phantom{x}}$). Dans cette leçon, on se limitera aux inéquations de la forme $\sqrt{ax+b}\leq cx+d$ ou $\sqrt{ax+b}<cx+d$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des réels.
Pour résoudre l'inéquation irrationnelle $\sqrt{ax+b}\leq cx+d$, on se réduit au système : $$ \left\{ \begin{array}{c} ax + b \geq 0 \\ cx + d \geq 0 \\ ax + b \leq (cx + d)^2 \end{array} \right. $$

Exercices d’application

Résoudre dans $\mathbb{R}$, les inéquations :

$\sqrt{2 - x} < x + 10$
$\sqrt{x - 1} \leq 3 - x$

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