Chapitre 01 — Leçon 4

LEÇON 4 : Équations et inéquations de degré supérieur ou égal à 3

Objectifs pédagogiques :

À la fin de cette leçon, l'élève sera capable de :

Résoudre des équations et inéquations faisant intervenir des polynômes de degré supérieur ou égal à 3 ;
Résoudre une équation/inéquation bicarrée.

Prérequis :

Savoir résoudre une équation et une inéquation du premier et second degré ;
Savoir utiliser la méthode par identification ou par division euclidienne sur des polynômes.

Situation problème :

Une entreprise produit des voitures qu'elle commercialise. Le coût de fabrication (en milliers de FCFA) d'une voiture est de 5 millions de FCFA. Cette entreprise produit $x$ voitures et la fonction qui modélise les prévisions pour la vente de ces $x$ voitures est donnée par

$$ P_{v}(x) = x^{3} + 4002x^{2} + 8000x - 10\,000\,000. $$

On s'intéresse au bénéfice, c'est-à-dire à la différence entre la recette et le coût de fabrication. Lorsque cette différence est strictement positive, on dit que la production est rentable. Déterminer la quantité de voitures à produire pour que la production soit rentable.

Activité d’apprentissage :

On considère l'inéquation $(I): x^{3} + 4002x^{2} - 4\,992\,000x - 10\,000\,000 \geq 0$ et le polynôme $p(x)$ défini par

$$ p(x) = x^{3} + 4002x^{2} - 4\,992\,000x - 10\,000\,000. $$

Montrer que $p(x) = (x - 1000)(x + 5000)(x + 2)$.
Dresser le tableau de signe du polynôme $p$ ; puis en déduire dans $\mathbb{R}$ l'ensemble solution de $(I)$.
En déduire la solution de la situation problème.

Solution :

1. Montrons que $p(x) = (x - 1000)(x + 5000)(x + 2)$.

On a

$$ \begin{array}{l} (x - 1000)(x + 5000)(x + 2) = (x - 1000)\left(x^{2} + 5002x + 10\,000\right) \\ = x^{3} + 5002x^{2} + 10\,000x - 1000x^{2} - 5\,002\,000x - 10\,000\,000 \\ = x^{3} + 4002x^{2} - 4\,992\,000x - 10\,000\,000 \\ = p(x). \end{array} $$

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2. Tableau de signe du polynôme $p(x)$.

On a $p(x)=0 \Longleftrightarrow x=-5000$ ou $x=-2$ ou $x=1000$. Ainsi le tableau de signe de $p(x)$ est le suivant :

$x$	$-\infty$$-5000$$-2$$1000$$+\infty$
$x-1000$	$-$	$-$	$-$$0$	$+$
$x+5000$	$-$$0$	$+$	$+$	$+$
$x+2$	$-$	$-$$0$	$+$	$+$
$p(x)$	$-$$0$	$+$$0$	$-$$0$	$+$

L’inéquation $p(x)\leq 0$ a pour ensemble solution $S=[-5000,-2]\cup[1000,+\infty[$.

3. Solution de la situation problème.

Le coût de fabrication (en milliers de FCFA) de $x$ voitures est modélisé par la fonction $p_F(x)=5000000x$ et le prix de vente de $x$ voitures est donné par $p_V(x)=x^3+4002x^2+8000x+10000000$. Pour que la production soit rentable, il faut que $p_V(x)-p_F(x)\geq 0$. Ainsi on a l’inéquation $x^3+4002x^2-4992000x-10000000>0$. Ainsi, la production sera rentable lorsque cette entreprise produira plus de $1000$ voitures.

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Résumé 1.0.4.

Pour résoudre une équation faisant intervenir un polynôme $p(x)$ de degré 3, on peut utiliser le programme suivant :

Déterminer une racine évidente $\alpha$ du polynôme $P(x)$.
Trouver un polynôme $q(x)$ de degré 2 tel que $p(x)=(x-\alpha)q(x)$.
Résoudre les équations $x-\alpha=0$ et $q(x)=0$ puis déduire les solutions.

Exercices d’application

Exercice 1.0.14.

On donne les polynômes $p(x)=x^3-x^2+x+3$ et $q(x)=2x^3+5x^2-14x-8$.

Déterminer les racines de $p(x)$ et de $q(x)$.
Résoudre alors dans $\mathbb{R}$ les inéquations $p(x)\geq 0$ et $q(x)<0$.

Exercice 1.0.15.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation :

$$2x^4+9x^3+6x^2+9x+4=0.$$

On pourra remarquer que $-4$ est une solution de cette équation.

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