Tle D: 3eme Séquence en maths

Exercice 1 : 4,5 points

1. Soient les nombres complexes $$z_1=\frac{1-\sqrt{2}}{1+i},\quad z_2=1-i \quad \text{et} \quad z=\frac{z_1}{z_2}.$$
   1. Donner la forme algébrique de $z$. 0,5 pt
   2. Donner la forme trigonométrique de chacun des nombres complexes $z_1$, $z_2$ et $z$. 0,5 pt
   3. En déduire les valeurs exactes de $\cos\frac{\pi}{12}$ et $\sin\frac{\pi}{12}$. 0,5 pt
2. Soit le nombre complexe $z=1+e^{i\theta}$ où $\theta$ est un réel de l’intervalle $]-\pi;\pi]$.
   1. Déterminer le module et un argument de $z$. 0,5 pt
   2. Calculer $z^2$ puis montrer que $1+e^{i\theta}=re^{i\frac{\theta}{2}}$. 1 pt
   3. En déduire que $\cos^4\frac{\theta}{2}=\dfrac12(\cos^2\theta+\cos\theta)$. 0,5 pt

Exercice 2 : 4,25 points

Soit le polynôme complexe $P$ tel que : $$P(z)=z^3-3z^2-3z+1.$$

1. Montrer que $i$ est racine de $P$ alors en déduire la factorisation de $P$. 1 pt
2. Calculer $P(1+i)$ et en déduire les racines de $P$. 1 pt
3. Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$. $A$ et $B$ sont les points d’affixes $1-i$ et $1+i$ respectivement. À tout nombre complexe $z$ différent de $1+i$, on associe le nombre $$z'=\frac{z-(1-i)}{z-(1+i)}.$$
   1. Montrer que le triangle $OAB$ est rectangle isocèle en $O$. 0,75 pt
   2. Déterminer l’ensemble $(C)$ des points $M$ tels que $z'$ soit imaginaire pur. 1 pt
   3. Déterminer l’ensemble $(D)$ des points $M$ tels que $|z'|=1$. 0,5 pt

Exercice 3 : 6,75 points

On considère les nombres complexes : $$a=16-26i \quad \text{et} \quad j=e^{i\frac{2\pi}{3}}.$$

1. Déterminer la forme générale des racines $n$-ièmes de l’unité. 0,5 pt
2. 1. Calculer $j^3$. 0,5 pt
   2. En déduire les racines cubiques de l’unité. 0,75 pt
   3. En déduire que, pour $k\in\{0,1,2\}$, les racines cubiques de l’unité sont $j^k$. 0,75 pt
3. On pose $S_n=\sum_{k=0}^{n-1}j^k$ et on voudrait montrer que $S_n=0$.
   1. Vérifier que $j$ est une racine cubique de l’unité. 0,25 pt
   2. Montrer que $1+j+j^2=0$. 0,75 pt
   3. Montrer que $S_n$ est la somme des termes d’une suite géométrique de premier terme $a_0=1$ et déterminer la raison. 0,75 pt
   4. En déduire que $S_n=0$. 0,75 pt

4. On considère le nombre complexe $$z=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5},$$ et on pose $$u=z+z^4 \quad \text{et} \quad v=z^2+z^3.$$
   1. Calculer $z^5$. Que peut-on dire de $z$ ? 0,75 pt
   2. Calculer $u+v$ et $uv$. 1 pt
   3. En déduire $u$ et $v$. 1 pt

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (4,5 points)

Situation

La figure ci-dessous représente le champ de Monsieur Atangana, traversé par une route communautaire. Les informations géométriques suivantes sont données :

• $ABCH$ est un rectangle
• $HCDG$ est un rectangle avec $CD = 2x$
• $GDEF$ est un carré de côté $y$
• $LDIM$ est un carré de centre $M$ et de côté $x$
• $DKJL$ est un rectangle avec $IJ = 1$
• $AG = 1$ ; $GF = y$
• L’unité est le kilomètre (Km)

D’après le plan et la géométrie faite, Monsieur Atangana peut lire que l’aire de la partie grise est de $0{,}75x^2$ et que l’aire de la parcelle restante $(ABCH)$ est égale à la moitié de l’aire de la partie grise. Il souhaite déterminer la superficie de la parcelle restante.

La parcelle grise est réservée à la culture du maïs, effectuée une fois par an. La première année, la récolte est de $2{,}1$ tonnes. Chaque année, la production augmente de $2\%$ par rapport à l’année précédente, et une perte de $0{,}1$ tonne est enregistrée lors du transport vers l’entrepôt. Monsieur Atangana décide de stocker toutes ses récoltes jusqu’à obtenir au moins $25$ tonnes de maïs.

Tâches

1. Après avoir déterminé $x$ et $y$, retrouver la superficie de la parcelle restante. 1,5 pt
2. Déterminer le nombre minimum d’années nécessaires pour obtenir au moins $25$ tonnes de maïs dans l’entrepôt. 1,5 pt
3. En supposant qu’il n’y ait aucune perte lors du transport, déterminer le nombre minimum d’années nécessaires pour atteindre $25$ tonnes de maïs. 1,5 pt

EXERCICE 1 : Nombres complexes et géométrie (6,5 pts)

1. Soit le polynôme $$p(z)=z^4+3z^3+2z^2+3z+1.$$ Le but de l’exercice est de résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $p(z)=0$. 0,5 pt
2. Comparer $p(z)$ et $p\!\left(\dfrac1z\right)$. 0,5 pt
   1. Montrer que si $z_0$ est une solution de $p(z)=0$, alors $$p\!\left(\frac1{z_0}\right)=0.$$ 0,25 pt
   2. Montrer que $$p(-1)=0,\quad p\!\left(\frac12\right)=0 \quad \text{et} \quad p\!\left(-\frac12\right)=0.$$ 0,75 pt
3. B. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $(O;\vec{u};\vec{v})$ (unité graphique : $1$ cm). On considère l’équation : $$(E): z^3+(-8+i)z^2+(17-8i)z+17i=0.$$
   1. Montrer que $-i$ est solution de $(E)$. 0,25 pt
   2. Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que : $$z^3+(-8+i)z^2+(17-8i)z+17i=(z+i)(z^2+az+b).$$ 0,5 pt
   3. Résoudre l’équation $(E)$ dans $\mathbb{C}$. 0,75 pt
4. $A$, $B$ et $C$ sont trois points d’affixes respectives $4+i$, $4-i$ et $-i$.
   1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ sur une figure que l’on complétera. 0,25 pt
   2. Soit $D$ le point d’affixe $2i$ image de $A$ par la rotation de centre $O$ et d’angle $\dfrac{\pi}{2}$. Calculer l’affixe de $D$. 0,5 pt
   3. Démontrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont situés sur un même cercle $(C)$ dont on déterminera le centre et le rayon. Tracer $(C)$. 0,75 pt
5. On considère la transformation du plan qui, à tout point $M$ d’affixe $z$, associe le point $M'$ d’affixe : $$z'=\frac{iz+10-2i}{z-2}.$$
   1. Déterminer les affixes des points $A'$, $B'$ et $C'$ images respectives des points $A$, $B$ et $C$. 0,75 pt
   2. Vérifier que $A'$, $B'$ et $C'$ appartiennent à un cercle $(C')$ de centre d’affixe $i$. 0,75 pt
   3. Déterminer le rayon du cercle $(C')$. 0,5 pt
6. Soit $M$ un point d’affixe $z$ appartenant au cercle $(C)$.
   1. Montrer que $|z'-i|=2\sqrt5$. 0,5 pt

EXERCICE 2 : Primitives, IAF et équations de logarithme (6,5 pts)

A) Primitives

1. Dans chacun des cas, déterminer les primitives de la fonction $f$ sur l’intervalle $K$ :
   1. $$f(x)=\frac{1}{(3x^2-2x-1)^2}, \qquad K=\left]-\frac13;1\right[.$$
   2. $$f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+4}}, \qquad K=\mathbb{R}.$$

2. Dans chacun des cas suivants, déterminer la primitive $F$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $K$, qui vérifie la condition donnée. 0,5 pt
   1. $$f(x)=x+1-\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x^2+1},\qquad K=]-\infty;-1[ \quad \text{et} \quad F(-2)=\ln 5.$$
   2. $$f(x)=\sin x\cdot \cos^4 x,\qquad K=\mathbb{R} \quad \text{et} \quad F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.$$

B)

On considère la fonction $f$ définie par : $$f(x)=\sqrt{1+x}.$$

1. Étudier $f$ sur $\left[-\frac12;1\right]$ et dresser son tableau de variation. 1 pt
2. Montrer, en calculant $f''$, que $f$ est strictement décroissante sur $\left[-\frac12;1\right]$, puis en déduire que : $$\forall x\in\left[-\frac12;1\right],\quad \frac12\le f(x)\le \frac{\sqrt2}{2}.$$ 1 pt
3. En appliquant le théorème des inégalités des accroissements finis sur l’intervalle $[0;\alpha]$, montrer que pour tout $a\in[0;1]$ : $$\frac{1}{2\sqrt{1+a}}\le 1 \le \frac{a}{2}.$$ 0,5 pt

C) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

1. $$2(\ln x)^2-5\ln x+3=0.$$
2. $$3e^x+5e^{-\frac{x}{2}}=0.$$
3. $$\ln(-x-2)-\ln\left(\frac{x-1}{x+3}\right)=0.$$
4. $$\begin{cases} x-2y=1\\ \ln x+\ln y=\ln 3 \end{cases}$$

PROBLÈME (Fonctions logarithmiques)

On définit les fonctions $h$ et $g$ par : $$h(x)=\frac{x+1}{2x+1}-\ln x \quad \text{et} \quad g(x)=\frac{2\ln x}{x^2+1}.$$

1. 1. Donner le domaine de $h$. 0,25 pt
   2. Déterminer les limites de $h$ aux bornes de son domaine de définition. 0,5 pt
   3. Calculer la dérivée de $h$ et dresser son tableau de variation. 1 pt
   4. Démontrer que l’équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $]1;2[$. 1 pt
   5. Préciser le signe de $h(x)$ pour $x\in]0;+\infty[$. 0,75 pt
2. Déterminer les limites aux bornes du domaine de définition de la fonction $g$. 0,75 pt
3. En déduire les asymptotes de $C_g$. 0,5 pt
4. Calculer la dérivée de $g$ et montrer que pour tout $x>0$ : $$g'(x)=\frac{2h(x)}{(x^2+1)^2}.$$ 1 pt
5. Dresser le tableau de variation de $g$ dans l’intervalle $]0;+\infty[$. 0,5 pt
6. Montrer que pour tout $\alpha>0$ : $$g(\alpha)=\frac{\alpha}{2(\alpha+1)}.$$ 0,5 pt
7. On note $A$ le point où la courbe $C_g$ coupe l’axe des abscisses, écrire une équation de la droite $(D)$ tangente à $C_g$ en $A$. 0,5 pt
8. Tracer $(D)$ et donner une allure générale de la courbe $C_g$. 1 pt

EXERCICE 1 (6,5 points)

1. Le polynôme $P$ est tel que, pour tout $z$ de $\mathbb{C}$ : $$P(z)=z^3+(-9+4\sqrt3)z^2+(43-24\sqrt3)z-75+36\sqrt3.$$
   1. Vérifier que $P(3)=0$. 0,25 pt
   2. Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $z$ de $\mathbb{C}$ : $$P(z)=(z-3)(z^2+az+b).$$ 1 pt
   3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation : $$z^2+(-6+4\sqrt3)z+25-12\sqrt3=0.$$ 1 pt
   4. En déduire les solutions de $P(z)=0$. 0,75 pt
2. On désigne par $A$, $B$ et $C$ les points du plan complexes d’affixes définies par : $$z_A=3-2\sqrt3+2i,\quad z_B=3-2\sqrt3-2i,\quad z_C=3.$$
   1. Déterminer le module et un argument du nombre complexe $$\frac{z_A-z_C}{z_B-z_C}.$$ 0,5 pt
   2. En déduire la nature du triangle $ABC$. 0,5 pt
3. Le plan est rapporté à un repère direct $(O;\vec{i};\vec{j})$. Soit $S$ l’application du plan dans lui-même qui, à tout point $M$ d’affixe $z=x+iy$, associe le point $M'$ d’affixe $z'=x'+iy'$ tel que : $$\begin{cases} x'=x+y\sqrt3-\sqrt3,\\ y'=-x\sqrt3+y+\sqrt3. \end{cases}$$
   1. Donner l’écriture complexe de $S$. 1 pt
   2. En déduire la nature et les éléments géométriques de $S$. 0,25×4 pts
   3. Soit $(C)$ le cercle de centre $D(1;1)$ et de rayon $5$. Déterminer $(C')$, image de $(C)$ par $S$. 1 pt

EXERCICE 2 (5 points)

Le plan est rapporté à un repère direct $(O;\vec{i};\vec{j})$. Soit la suite numérique $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par : $$u_n=\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}.$$

1. Prouver que, pour tout entier naturel non nul $n$ : $$0<u_n\le 1.$$ 0,75 pt
2. Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$. 0,5 pt
3. On pose, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ : $$x_n=u_1\times u_2\times \cdots \times u_n.$$
   1. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ : $$x_n=\frac{n+2}{2(n+1)}.$$ 0,75 pt

3. 1. Calculer la limite de $x_n$ lorsque $n$ tend vers l’infini. 0,25 pt
4. On pose $v_n=\ln(u_n)$.
   1. Justifier que la suite $(v_n)$ est définie sur $\mathbb{N}^*$. 0,25 pt
   2. Déduire de la question 1 que la suite $(v_n)$ est négative. 0,5 pt
   3. Prouver que la suite $v_n$ est croissante. 0,5 pt
   4. Déterminer la limite de $v_n$ lorsque $n$ tend vers l’infini. 0,5 pt
5. On pose pour tout entier $n$ strictement positif : $$y_n=v_1+v_2+v_3+\cdots+v_n.$$
   1. Exprimer $y_n$ en fonction de $x_n$. 0,75 pt
   2. Déterminer la limite de $y_n$ lorsque $n$ tend vers l’infini. 0,5 pt

Problème : 10 points

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A (03 points)

Dans cette première partie, on étudie le signe de la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $$g(x)=\frac{x+1}{2x+1}-\ln x.$$

1. Étudier le sens de variation de $g$. 0,75 pt
2. Calculer $g(1)$ et $g(2)$. 0,5 pt
3. Montrer que l’équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $]0;+\infty[$. 0,75 pt
4. Trouver un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-1}$. 0,25 pt
5. Déduire le signe de $g(x)$ sur $]0;+\infty[$. 0,75 pt

Partie B (07 points)

L’objet de cette deuxième partie est l’étude de la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $$f(x)=\frac{2\ln x}{x^2+x}.$$

On appelle $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ orthonormé d’unité $2$ cm sur l’axe des abscisses et $4$ cm sur l’axe des ordonnées.

1. Étudier les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$, interpréter graphiquement ces limites. 0,5 pt
2. Montrer que, pour tout $x>0$ : $$f'(x)=\frac{2(2x+1)}{(x^2+x)^2}\,g(x).$$ 0,75 pt
3. En déduire les variations de $f$. 0,75 pt
4. Démontrer que : $$f(\alpha)=\frac{2}{\alpha(\alpha+1)}.$$ 1,25 pt
5. Construire $(C_f)$. 0,75 pt
6. Calculer l’aire en cm$^2$ de la partie du plan limitée par $(C_f)$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=1$ et $x=e$. 1 pt
7. On considère l’équation différentielle suivante : $$(E):\ y'+2y=x+1.$$
   1. Déterminer une solution générale $h_0(x)$ de l’équation $(E_0):\ y'+2y=0$. 0,5 pt
   2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $$h(x)=ax+b+ce^{-2x}$$ soit une solution particulière de $(E)$. 0,5 pt
   3. En déduire les solutions de $(E)$. 0,25 pt
   4. Déterminer la solution de $(E)$ pour laquelle l’image de $0$ est $\dfrac14$. 0,5 pt

Exercice 1

On considère les nombres complexes suivants : $$z_1=1+2i,\quad z_2=4-3i \quad \text{et} \quad z_3=(\sqrt6-\sqrt2)+i(\sqrt6+\sqrt2).$$

1. Donner la forme algébrique du nombre complexe $z_3$.
2. Déterminer les racines carrées de $z_3$.
3. Calculer $z_1z_2$. En déduire les racines carrées du nombre complexe $$z=-8\sqrt3+8.$$
4. Résoudre dans l’ensemble des complexes les équations suivantes :
   1. $z^2+1z-16=0$
   2. $z^2+(3z-6x+4)=0$

Exercice 2

On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par : $$u_n=\frac{1}{n+1}\quad \text{et} \quad v_n=2n+1.$$

1. Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique et préciser sa raison.
2. Soit la suite $(w_n)$ définie par : $$w_n=2u_n+1 \quad \text{pour tout } n\in\mathbb{N}.$$
   1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $$w_n=\frac{1}{2}+2n.$$
   2. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.

Exercice 3

Soit $P$ le polynôme complexe défini par : $$P(x)=3x^3+6x^2-12.$$ On admet que $x$ est un nombre réel.

1. Déterminer le nombre de racines de $P$.
2. Montrer que $x$ est racine de $P$ si et seulement si son conjugué l’est aussi.
3. En déduire que l’une des racines de $P$ est réelle.
4. Calculer $P(2)$ puis déterminer les racines de $P$.
5. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $P(x)=0$.

Exercice 4

On considère dans le plan complexe le point $M$ d’affixe $z$. Soit $X$ le nombre complexe défini par : $$X=\frac{z^2+1}{z-1}.$$

1. En posant $z=x+iy$, montrer que les parties réelle et imaginaire de $X$ sont respectivement $\Re(X)$ et $\Im(X)$.
2. Soit $(C)$ l’ensemble des points $M(x,y)$ du plan tels que $X$ soit imaginaire pur. Déterminer $(C)$.
3. Soit $(D)$ l’ensemble des points $M(x,y)$ du plan tels que $X$ soit réel. Déterminer $(D)$ puis donner le centre et le rayon.

Exercice 5

Soit le polynôme complexe $$P(z)=z^3-(1+3i)z^2+(1+9i)z+2-6i.$$

1. 1. Calculer l’image de $1$ par $P$.
   2. Démontrer que $P$ admet une racine imaginaire pure à déterminer.
2. Déterminer le complexe $c$ tel que $P(z)=(z-1)(z-2i)(z-c)$.
3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $P(z)=0$.
4. $A$, $B$ et $C$ sont les affixes d’affixe $1$, $2i$ et $-3-i$.
   1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan muni du repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.
   2. $D$ est le point tel que $ABCD$ soit un parallélogramme. Placer $D$ puis donner ses coordonnées.

Exercice 6

On considère la fonction $f$ définie par $$f(x)=1+\frac{1}{x}$$ et la suite $(u_n)$ définie par : $$\begin{cases} u_0=2\\ u_{n+1}=\dfrac{1+u_n}{u_n} \end{cases}$$

1. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
2. Déterminer un réel positif $\alpha$ tel que $f(\alpha)=\alpha$.
3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a : $\dfrac13\le u_n\le 2$.
4. On admet que le réel $\alpha$ de la question 2 vérifie la relation $$|u_{n+1}-\alpha|\le \frac12|u_n-\alpha|.$$
   1. Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $|u_n-\alpha|\le\left(\dfrac12\right)^n|u_0-\alpha|$.
   2. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et préciser sa limite.

Exercice 7

On considère dans l’ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, le polynôme $P$ défini par : $$P(z)=z^3+z^2-z(1-i)+2+2i.$$

1. Montrer que $P$ admet une racine réelle $z_0$ que l’on déterminera.
2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que : $P(z)=(z-z_0)(z^2+az+b)$.
3. Résoudre alors l’équation $P(z)=0$.

Exercice 8

Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q>0$ et de premier terme $u_1=\dfrac12$. On donne : $$\frac{u_{10}}{u_6}=\frac{16}{81}$$ et on pose $$S_n=\sum_{p=1}^{n}u_p.$$

1. Déterminer la valeur de $q$ et dire si la suite $(u_n)$ est convergente.
2. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
3. Calculer la limite de $S_n$.

Exercice 9

On considère les nombres complexes $z_n$ définis pour tout entier naturel $n$ par $z_0=3$ et $z_{n+1}=\dfrac12 z_n$. On note $M_n$ le point du plan d’affixe $z_n$.

1. Placer dans le plan les points $M_0$, $M_1$, $M_2$ et $M_3$.
2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n=|z_{n+1}-z_n|$.
   1. Montrer que $(d_n)$ est une suite géométrique convergente dont on précisera la raison et le premier terme.
   2. Exprimer en fonction de $n$ la longueur $L_n$ de la ligne brisée $M_0M_1M_2\ldots M_{n-1}M_n$.
   3. Déterminer la limite de $L_n$ quand $n\to+\infty$.

Remarque : la relation de récurrence de cet exercice est légèrement floue sur l’image ; je l’ai retranscrite sous la forme $z_{n+1}=\dfrac12 z_n$ telle qu’elle apparaît.

EXERCICE 1 : QCM et nombres complexes (4 points)

I – Questionnaire à choix multiple

Pour chaque question, une réponse est exacte. L’élève indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

1. À tout nombre complexe $z\neq -2$, on associe le nombre complexe $$Z=\frac{z+2}{z+2}.$$ L’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $|Z|=1$ est :
   a) Un cercle de rayon $1$ ;   b) Une droite ;   c) Une droite privée d’un point ;   d) Un cercle privé d’un point. 0,5 pt
2. On pose $$Z=-\sqrt2+\sqrt2\,i+\sqrt2-\sqrt2\,i.$$ La forme algébrique de $Z$ est :
   a) $2\sqrt2$ ;   b) $2\sqrt2-2\sqrt2 i$ ;   c) $(2+\sqrt2)+(i-\sqrt2)$ ;   d) $2\sqrt2+2\sqrt2 i$. 0,5 pt
3. La forme algébrique de $2z$ est :
   a) $4e^{i\frac{\pi}{4}}$ ;   b) $4e^{-i\frac{\pi}{4}}$ ;   c) $4e^{i\frac{3\pi}{4}}$ ;   d) $4e^{-i\frac{3\pi}{4}}$. 0,5 pt
4. La linéarisation de $\sin^3 x \cos^3 x$ est :
   a) $\frac{1}{32}\sin(6x)+\frac{3}{32}\sin(2x)$ ;   b) $-\frac{1}{32}\sin(6x)-\frac{3}{32}\sin(2x)$ ;
   c) $\frac{1}{32}\sin(6x)+\frac{3}{32}\cos(2x)$ ;   d) $\frac{3}{32}\sin(6x)-\frac{1}{32}\sin(2x)$. 0,5 pt

II – Résolution dans $\mathbb{C}$

On pose $$P(z)=z^3+(11+2i)z^2+2(17+7i)z+42.$$

1. Montrer que $P$ admet une racine réelle $z_0$. 0,5 pt
2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que : $$P(z)=(z-z_0)(z^2+az+b).$$ 0,5 pt
3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation : $$z^2+2(2+i)z+6=0.$$ 0,75 pt
4. En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $P(z)=0$. 0,25 pt

EXERCICE 2 : Étude de fonction (5 points)

On considère la fonction numérique réelle définie par : $$f(x)=\frac{x^3}{x^2-x-2}$$ et le polynôme $$p(x)=x^2-2x-6.$$

1. Montrer que l’ensemble de définition de $f$ est : $$D_f=]-\infty;-1[\cup]2;+\infty[.$$ 0,25 pt
2. Montrer que pour tout $x\in]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[$ : $$p(x)>0.$$ 0,25 pt
3. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition. 1,5 pt
4. Montrer que pour tout $x\in D_f$ : $$f'(x)=\frac{x^2(x^2-x-6)}{(x^2-x-2)^2}.$$ 1 pt
5. Dresser le tableau de variation de $f$ sur son ensemble de définition. 0,5 pt
6. Déterminer les équations des asymptotes verticales. 0,5 pt
7. La courbe de $f$ admet-elle une branche infinie ? Si oui, la déterminer. 0,5 pt
8. Tracer la courbe $(C_f)$ et ses asymptotes dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ d’unité graphique $1$ cm sur les axes. 1 pt

EXERCICE 3 : Étude de fonction (5 points)

Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$. Unité graphique : $1$ cm. Soit la fonction $g$ définie par : $$g(x)=1-x^2\left(2-\frac{1}{x}\right).$$

1. Montrer que le domaine de définition de $g$ est : $$D_g=]-\infty;0[\cup]1;+\infty[.$$ 0,5 pt
2. Étudier les variations de la fonction $g$. 1 pt
3. Montrer que l’équation $g(x)=0$ admet deux solutions de signes contraires sur $D_g$. 1 pt
4. On notera $\alpha$ la solution négative et $\beta$ l’autre solution. Montrer que : $$\alpha\in]-0{,}8;-0{,}7[\quad \text{et} \quad \beta=1.$$ 1 pt
5. Vérifier que :
   1. Pour tout $x\in]-\infty;\alpha[\cup]1;+\infty[$, $g(x)\le 0$. 0,5 pt
   2. Pour tout $x\in[\alpha;1[$, $g(x)\ge 0$. 0,5 pt

ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (6 points)

Lors d’une partie de Golf, Paul, élève en classe de Terminale, observe le joueur qui frappe une balle d’un point $O$ avec une vitesse $v_0$ formant un angle $\alpha$ avec l’horizontale. On se place dans le plan formé par $(O;\vec{i};\vec{j})$, $\vec{i}$ étant projeté sur l’horizontale.

On rappelle qu’au cours de physique, le professeur aura dit que pour un point $M(x;y)$ définissant la position de l’objet à un instant $t$, la relation de la dynamique permet d’obtenir l’équation du mouvement : $$x=(v_0\cos\alpha)t \quad \text{et} \quad y=-\frac12 gt^2+(v_0\sin\alpha)t.$$

À partir de ces équations horaires, il estime que la hauteur maximale sera atteinte si : $$x=\frac{v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}.$$ Il se propose alors d’étudier la fonction $h$ définie par : $$h(\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha,$$ et de déterminer la valeur de $\alpha$ pour laquelle la balle atteigne la hauteur maximale.

On suppose que $v_0=20$ m/s. Il souhaite que l’objet retombe sur le sol $20$ m plus loin afin de faire entrer la balle dans le trou.

Tâches

1. À l’aide du raisonnement, estimer la hauteur maximale. 2 pts
2. Aider le joueur à déterminer la valeur de $\alpha$ pour atteindre la hauteur maximale. 2 pts
3. Aider le joueur à déterminer la valeur de $\alpha$ pour que son souhait soit réalisé. 2 pts