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L’épreuve de mathématiques du BACCALAUREAT D 2018
EXERCICE 14 points
1. On considère $a$ et $b$ deux réels, avec $a$ non nul.
Démontrer que les fonctions de la forme $x\mapsto Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}$, où $C$ est un réel, sont des solutions de l’équation différentielle : $y’=ay+b$ $(E)$. (on admettra par la suite que ce sont les seules). 2 pts
2. Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
(a) Affirmation 1 : Si une fonction $f$ définie sur l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ est solution de l’équation différentielle $y’+3y=6$, alors la courbe représentant $f$ admet une asymptote horizontale en $+\infty$. 0,5 pt
(b) Affirmation 2 : Si une fonction $f$ définie sur l’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ est solution de l’équation $y’=y$, alors pour tous réels $\alpha$ et $\beta$, $f(\alpha+\beta)=f(\alpha)\times f(\beta)$. . . . 0,5 pt
(c) Affirmation 3 : La courbe d’une fonction solution de l’équation différentielle $y’=-2y$ coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée $\dfrac{3}{2}$. 1 pt
L’aire, en unité d’aire, du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe et les droites d’équations respectives $x=0$ et $x=\ln 3$, est $\dfrac{2}{3}$.
EXERCICE 25 points
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct $(O,\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ})$.
Considérons les points $A$ et $B$ d’affixes respectives $z_A=2$ et $z_B=\dfrac{3}{2}+i$.
On considère les points $M$, $N$ et $P$ tels que les triangles $AMB$, $BNO$ et $OPA$ soient des triangles rectangles isocèles de sens direct comme le montre la figure ci-contre.
notons $S_1$ la similitude directe de centre $A$ qui transforme $M$ en $B$.
On note $S_2$ la similitude directe de centre $O$ qui transforme $B$ en $N$.
Le but de cet exercice est de démontrer que les droites $(OM)$ et $(PN)$ sont perpendiculaires.
1. Donner l’angle et le rapport de $S_1$ et de $S_2$. 1 pt
2. (a) En utilisant les résultats de la question 1, donner les écritures complexes de $S_1$ et $S_2$. 1 pt
(b) En déduire les affixes $z_M$ et $z_N$ des points $M$ et $N$. 1,5 pt
(c) Donner, par lecture graphique, l’affixe $z_P$ du point $P$, puis démontrer que les droites $(OM)$ et $(PN)$ sont perpendiculaires. 1,5 pt
PROBLEME11 points
A- On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=2x+1-xe^{x-1}$.
On note $(C)$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$.
A. Etude de la fonction $f$ et construction de la courbe $(C)$.
1. Etudier la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ puis en $+\infty$ (on pourra écrire $xe^{x-1}=\dfrac{1}{e}\,xe^{x}$). 1 pt
2. Démontrer que la droite $\Delta$ d’équation $y=2x+1$ est asymptote à la courbe $(C)$ en $-\infty$ et préciser la position de la courbe $(C)$ par rapport à la droite $\Delta$. 0,75 pt
3. (a) Calculer la dérivée $f’$ et la dérivée seconde $f »$ de la fonction $f$. 0,75 pt
(b) Dresser le tableau de variation de la fonction $f’$ en précisant les limites de la fonction $f’$ en $-\infty$ et en $+\infty$. 0,75 pt
(c) Calculer $f'(1)$ et en déduire le signe de $f’$ pour tout réel $x$. 0,5 pt
(d) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. 0,75 pt
4. Soit $I$ l’intervalle $[1,9;2]$. Démontrer que, sur $I$, l’équation $f(x)=0$ a une solution unique $\alpha$. 0,5 pt
5. Tracer la droite $\Delta$ et la courbe $(C)$ (unité graphique : $2$ cm). 1 pt
B. Recherche d’une approximation de $\alpha$.
On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $I$ par : $g(x)=1+\ln\left(2+\dfrac{1}{x}\right)$.
1. Démontrer que, sur $I$, l’équation $f(x)=0$ équivaut à l’équation $g(x)=x$. 0,5 pt
2. Etudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $I$ et démontrer que, pour tout $x$ appartenant à $I$, $g(x)$ appartient à $I$. 1,5 pt
3. Démontrer que, pour tout $x$ de l’intervalle $I$, $|g'(x)|\le \dfrac{1}{9}$. 1 pt
4. Soit $(U_n)$ la suite de nombres réels définie par : $U_0=2$ et, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $U_{n+1}=g(U_n)$. On déduit de la question B2. que tous les termes de cette suite appartiennent à l’intervalle $I$. On ne demande pas de le démontrer.
(a) Démontrer que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $|U_{n+1}-\alpha|\le \dfrac{1}{9}|U_n-\alpha|$. 0,5 pt
(b) En déduire, en raisonnant par récurrence, que : pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ $|U_n-\alpha|\le \left(\dfrac{1}{9}\right)^n\times \dfrac{1}{10}$. 0,5 pt
(c) En déduire que la suite $(U_n)$ converge et préciser sa limite. 1 pt
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Épreuve de mathématiques — BACCALAUREAT D 2018
Conclusion du BACCALAUREAT D 2018
D’abord, ce sujet t’aide à comprendre les attentes et à t’entraîner avec méthode. Ensuite, garde ton calme, écris proprement et avance question par question. Puis, Ndolomath te permet de réviser régulièrement et de gagner en confiance. Enfin, avec BACCALAUREAT D 2018, tu peux mieux viser la réussite le jour J.
