D’abord, le Baccalauréat D 2010 te permet de réviser sérieusement sur Ndolomath et t’organiser. Ensuite, le Baccalauréat D 2010 suit l’esprit officiel et rappelle la définition de l’examen. Puis, le Baccalauréat D 2010 t’entraîne avec des questions progressives, du calcul aux raisonnements. Enfin, le Baccalauréat D 2010 t’aide à gagner en confiance avant le jour J.
L’épreuve de mathématiques du BACCALAURÉAT D 2010
Exercice 1 :4,5 points
Le plan est rapporté au repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, (unité sur les axes $1\ \text{cm}$). On considère dans l’ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complèxes, l’équation $(e):\ z^2+(-7+i)z+12-16i=0.$
1. (a) Calculer $(5+5i)^2$. 0,5 pt
(b) Résoudre l’équation $(e)$ dans $\mathbb{C}$. 1 pt
2. Soient les points $A$ et $B$ d’affixes espectives $1-3i$ et $6+2i$. Calculer $\dfrac{z_O-z_B}{z_O-z_A}$ ; où $z_O,\ z_A$ et $z_B$ désignent les affixes respectives des points $O,\ A$ et $B$; en déduire la nature du triangle $OAB$. 0,75 pt
3. Que représente le point $I$ d’affixe $\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}i$ pour le segment $[AB]$ ? 0,5 pt
4. Soit $(\Gamma)$ l’ensemble des points $M$ d’affixes $z$ tels que $\left|z-\dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{2}i\right|=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$.
(a) Dire si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse. 0,75 pt
i. $O\in(\Gamma)$; ii. $A\in(\Gamma)$; iii. $B\in(\Gamma)$
(b) Donner une équation cartésienne de $(\Gamma)$ et construire $(\Gamma)$. 1 pt
Exercice 2 :4,5 points
En 1990, un pays avait une population de 50 millions d’habitants. Par accroissement naturel, sa population augmente de $1{,}5\%$ par an. Par ailleurs, aon constate une augmentation annuelle supplémentaire de $0{,}45$ million d’habitants dès l’année 1991. L’unité étant le million d’habitants; on note $U_0=50$ l’effectif de la population en 1990 et $U_n$ le nombre d’habitants en $1990+n$.
1. (a) Calculer $U_1$ et $U_2$. 0,5 pt
(b) Montrer que $U_{n+1}=1{,}01U_n+0{,}45$. 0,75 pt
2. On se propose de prévoir directement l’effectif de la population en 2010 si le modèle d’évolution se poursuit de la même façon ; pour cela on considère la suite $(V_n)$ définie par $V_n=30+U_n$.
(a) Calculer $V_1$ et $V_2$. 0,5 pt
(b) Démontrer que la suite $(V_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 0,75 pt
(c) Exprimer $V_n$ puis $U_n$ en fonction de $n$. En déduire alors l’effectif de la population de ce pays en l’an 2010. (On prendra le résultat arrondi en million d’habitants). 1,5 pt
(d) Déterminer par calcul à partir de quelle année l’effectif de la population de ce pays dépassera 100 millions d’habitants si l’évolution se poursuit de la même manière. 0,5 pt
Problème :11 points
Partie A:8 points
On considère la fonction $f$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par $f(x)=\begin{cases}1+xe^{-x^2} & \text{si } x\le 0\\ x\ln x-x+1 & \text{si } x>0\end{cases}.$ Soit $(O,\vec{i},\vec{j})$ un repère orthonormé du plan et $(C_f)$ la courbe représentative de $f$ dans ce repère.
1. Déterminer le domaine de définition de $f$. 0,5 pt
2. (a) Etudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en $0$. 1 pt
(b) Ecrire les équations des demi-tangentes à $(C_f)$ au point d’abscisse $0$. 0,5 pt
3. (a) Calculer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. 0,5 pt
(b) Etudier les branches infinies de la courbe $(C_f)$. 1 pt
4. Etudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations. 1,5 pt
5. Tracer les demi-tangentes à $(C_f)$ au point d’abscisse $0$ et tracer $(C_f)$. 1,5 pt
6. Déterminer l’aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(C_f)$ et les droites d’équations respectives $y=1$, $x=-1$ et $x=0$ (on pourra utiliser une intégration par partie). 1 pt
7. Montrer que la restriction $g$ de $f$ à l’intervalle $]-\infty;0[$ est une bijection de l’intervalle $]-\infty;0[$ dans une intervalle que l’on précisera. 0,5 pt
Partie B :3 points
On se propose de résoudre l’équation différentielle $(1):\ y’-2y=xe^{x^2}$.
1. Résoudre l’équation différentielle $(2):\ y’-2y=0$ où $y$ désigne une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. 0,5 pt
2. Soient $a$ et $b$ deux réels, $u$ la fonction définie par $u(x)=(ax+b)e^{x^2}$. Déterminer $a$ et $b$ pour que $u$ soit une solution de $(1)$. 0,75 pt
3. (a) Montrer que $v$ est solution de $(1)$ si et seulement si $v-u$ est solution de $(2)$. 0,75 pt
(b) En déduire les solutions de $(1)$. 0,5 pt
(c) Déterminer la solution de $(1)$ qui s’annule en $0$. 0,5 pt
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Épreuve de mathématiques — BACCALAURÉAT D 2010
Conclusion du BACCALAURÉAT D 2010
D’abord, prends le temps de relire l’énoncé et de repérer les questions accessibles. Ensuite, traite les points sûrs avant de revenir sur les étapes plus longues. Puis, si tu bloques, respire et avance avec une méthode claire. Enfin, sur Ndolomath, tu peux t’entraîner et consolider ton rythme d’examen.
